《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题7几何图形—7.9之手拉手模型等腰三角形

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旋转

旋转的定义：

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的

图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的

角叫做旋转角．

旋转具有以下特征：

（1）对应点与旋转中心的连线所成夹角等于旋转角；

（2）对应点到旋转中心的距离相等；

（3）对应角、对应线段相等；

（4）图形的形状和大小都不变。

（5）对应线段的垂直平分线都经过旋转中心

模型概述：

两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴

随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们

形象的称其为“手拉手”模型。

【解题策略】

1、找旋转点（___________的公共端点）,构造旋转；

2、证________或________；

3、利用_______或_______得到边、角的关系.

基本模型：

一、等边三角形手拉手-出全等

图1 图2

图3 图4

1.解读：

（1）图 1中，等边△CDE 和等边△CBA 构成“A”字型相似；

（2）将△CDE 绕点 C顺时针旋转一定角度，分别至图 2、图 3、和图

4（B、C、E共线）

（3）两三角形的“头部”C始终重合，“大手”A对应于“小手”E，“大

手”B对应于“小手”D，旋转过程中，“大手”始终拉着（连接）“小手”；

（4）“大手臂”CB、“小手臂”CD 及其连线 BD 构成的△CBD 与“大手

臂”CA、“小手臂”CE 及其连线 AE 构成的△CAE 始终全等；

（5）两连线 BD 和AE 所在直线的夹角始终为 60°。

2.结论：

（1）图 2、图 3和图 4中都有：①△CBD CAE≌△ ；②直线 BD 和直线 AE 的夹

角为 60°。

（2）图 3中的其他结论：① FC 平分∠BFE；② FB=FA+FC；③ FE=FD+FC；

（3）图 3中结论在图 4中成立，此外，在图 4中还有：

①△BCM CAN≌△ ；②△DCM ECM≌△ ；③ MN BE∥；④△CMN 为等边三角

形；④

【经典例题 1】已知：如图，等边△AOB 的边长为 4，点 C为OA 中点．

（1）如图 1，将 OC 绕点 O顺时针旋转，使点 C落到 OB 边的点 D处，设旋

转角为 α（0°＜α≤360°）．则此时 α＝　　；此时△COD 是　　三角

形（填特殊三角形的名称）．

（2）如图 2，固定等边△AOB 不动，将（1）中得到的△OCD 绕点 O逆时针

旋转，连接 AC，BD，设旋转角为 β（0°＜β≤360°）．

①求证：AC＝BD；

②当旋转角 β为何值时，OC∥AB，并说明理由；

③当 A、C、D三点共线时，直接写出线段 BD 的长．

【解析】（1）如图 1，∵△AOB 是等边三角形，∴AO＝BO＝AB，∠AOB＝

60°，∵将 OC 绕点 O顺时针旋转，使点 C落到 OB 边的点 D处，

∴OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°＝α，

∴△COD 是等边三角形，答案为：60°，等边；

（2）①∵△COD 是等边三角形，

∴OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°，

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