《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题7几何图形—7.8之截长补短

3.0 envi 2025-04-21 13 4 2.04MB 27 页 3知币
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截长补短模型
【经典例题 1】如图（图 1、图 2），四边形 ABCD 是边长为 4的正方形，点 E
在线段 BC 上，∠AEF=90°，且 EF 交正方形外角平分线 CP 于点 F，FN BC⊥，
交BC 的延长线于点 N。
（1）点 E在BC 间运动时（如图 2），设 BE=x，△ECF 的面积为 y。
①求 y与x的函数关系式；
②当 x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值。
【解析】
（1）相等。理由：
∵四边形 ABCD 是正方形，点 E是BC 的中点
∴∠B= DCN=90°∠，AB=BC=2BE，
∴∠BAE+ BEA=90°∠，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+ FEC=90°∠，
∴∠BAE= FEN∠，
∵CF 是∠DCN 的角平分线，∠FNC=90°，
∴∠FCN= CFN=45°∠，
∴FN=CN，
在Rt ABE△和Rt ENF△中
tan BAE=tan FEN =∠ ∠
BE
AB
=FN
EN
=1
2
，
∴EN=2FN，
∴EC+CN=2CN，
∴FN=BE，
∴Rt ABE Rt ENF△ △≌ ，
∴AE=EF；
1
（2）① tan BAE=tan FEN=∠ ∠
BE
AB
=FN
EN
；
∴
BE
BE +EC
=CN
EC +CN
，
∴BE（EC+CN）=CN（BE+EC），
∴BE·EC+BE·CN = BE·CN+CN·EC，
∴BE·EC=CN·EC，
∴BE=CN，
∴BE=FN= x，T
∴y=
1
2
EC·FN=
1
2
(4-x)x= -
1
2
x2+2x，
②y= -
(x-2)2+2
当x=2 时，y有最大值为 2.
练习 1-1 如图(1)，已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方，BC 在直线 MN 上，E
是BC 上一点，以 AE 为边在直线 MN 的上方作正方形 AEFG.
(1)连接 GD，求证：△ADG ABE≌△ ；
(2)连接 FC，观察并猜测∠FCN 的度数，并说明理由；
(3)如图(2)，将图(1)中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD，AB=m，BC=n(m、n为常
数)，E是线段 BC 上一动点(不含端点 B. C)，以 AE 为边在直线 MN 的上方作矩
形AEFG，使顶点 G恰好落在射线 CD 上。判断当点 E由B向C运动时，
∠FCN 的大小是否总保持不变?若∠FCN 的大小不变，请用含 m、n的代数式表
示tan FCN∠的值；若∠FCN 的大小发生改变，请举例说明。
2
【解析】（1）∠FCN=45°，
理由是：作 FH MN⊥于H，
∵∠AEF= ABE=90°∠，
∴∠BAE+ AEB=90°∠，∠FEH+ AEB=90°∠，
∴∠FEH= BAE∠，
在△EHF 和△ABE 中
∠EBA＝∠FHE
∠BAE＝∠FEH
AE＝EF，
∴△EHF ABE≌△ （AAS），
∴FH=BE，EH=AB=BC，
∴CH=BE=FH，
∵∠FHC=90°，
∴∠FCH=45°；
（2）如图（2）作 FH MN⊥于H．
由已知可得∠EAG= BAD= AEF=90°∠ ∠ ，
结合（1）易得∠FEH= BAE= DAG∠ ∠ ，
又∵G在射线 CD 上，
∠GDA= EHF= EBA=90°∠ ∠ ，
在△EFH 和△AGD 中
∠GDA＝∠FHE
∠DAG＝∠FEH
AG＝EF，
∴△EFH AGD≌△ （AAS），
∵∠BAE= FEH∠，∠ABE= FHE∠，
3
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