《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题7几何图形—7.3几何证明之一线三等角模型

3.0 envi 2025-04-21 4 4 928.93KB 29 页 3知币
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三等角模型
共线三等角模型：当三垂直模型中 3个直角变为相等的锐角或钝角时，仍会产
生全等或相似三角形。
解读：
(1)图1和图 2中，大小均为 α的三个锐角（或钝角）顶点在同一直线你上。
(2)当三组对应边均不相等时，图 1中有△ABC∽△ECD，图 2中有
△ABC∽△CDE（注意对应关系）
(3)当△ABC 和△CDE 的任意一组对应边相等时，有两三角形全等。
(4)证明思路：三角形的外角和定理
(5)图1中，若 C为AE 的中点，连接 BD，则有△ABC∽△ECD∽△CBD（可记为
“中点三相似”）
(6)三垂直模型是共线三等角模型的特殊情况。
图 1 图2
1
【经典例题 1】如图，D是等边△ABC 边AB 上的一点，且 AD=1，BD=2，现将
△ABC 折叠，使点 C与D重合，折痕 EF，点 E、F分别在 AC 和BC 上，若
BF=1.25，则 CE=（　　）
【解析】 ∵△ABC 为等边三角形，
∴AC=AB=3，∠A= B= C=60°∠ ∠ ．
由翻折的性质可知：∠EDF=60°．
∴∠FDB+ EDA=120°∠．
∵∠EDA+ AED=120°∠，
∴∠AED= FDB∠．
∴△AED BDF∽△ ．
∴AE/AD=BD/FB，即 AE/1=2/1.25．
解得：AE=
8
5
．
CE=3-AE=3-
8
5
=
7
5
．
故选：B．
点评 本题主要考查的是等边三角形的性质、翻折的性质、相似三角形的性质和
判定，利用相似三角形的性质求得 AE 的长是解题的关键．
2
【经典例题 2】如图，在△ABC 中，AB=AC=10，点 D是边 BC 上一动点(不与
B，C重合)，∠ADE=∠B=α，DE 交AC 于点 E，且 cosα=
4
5
.下列给出的结论中，
正确的有()
①△ADE∽△ACD；•••
②当 BD=6 时，△ABC 与△DCE 全等；
③△DCE 为直角三角形时，BD 为8或12.5；
④0<CE 6.4.⩽
【解析】①∵AB=AC，
∴∠B= C∠，
又∵∠ADE= B∠
∴∠ADE= C∠，
∴△ADE ACD∽△ ；
故①正确，
②AB=AC=10，∠ADE= B=α∠，cosα=
4
5
，
∴BC=2ABcosB=2×10×
4
5
=16，
∵BD=6，
∴DC=10，
∴AB=DC，
在△ABD 与△DCE 中，
∠BAD＝∠CDE
3
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