《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题7几何图形—7.1半角模型之120°和60°

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半角模型基本结论与证明
半角模型：指的是一个大角夹着一个度数为它一半的角。过等腰三角形顶角的
顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半
条件：四边形 ABCD 中，E、F分别在 BC、CD（或延长线上），具备下列三个
条件：
①AB=AD（共顶点等线段）；②∠BAD=2 EAF∠；（共顶点的倍半角）
③∠B+ ADC=180°∠（或∠BAD+ BCD=180°∠）（对角互补四边形）
结 论 ： EF=BE+DF （ 延 长 线 上 为 EF=BE-DF ） ； AE 平 分 ∠ BEF ，AF 平 分
∠EFD。
情形一：角内含半角 （补短） 情形二：角外含半角（截长）
我们习惯把这样的模型称为半角模型。
常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角
两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后
证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得出线段之间的数量关系，
1
从而解决问题。
模型四、120°角夹 60°
基本图形：
基本结论：
（1）如图①，若点 E、F分别为 BC、CD 的中点，则 BE+DF=AB；
（2）如图②，若点 E、F分别为 BC、CD 的上任意一点，则 BE+DF=AB；
（3）如图③，若点 E、F分别在 BC、CD 的延长线上，则 BE+DF=AB；
【经典例题 4】如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD=60°，E、F分别在 AB、BC 上，
∠DEF=60°，DF 交AC 于G.
（1）求证：∠ADE=BEF；
（2）求证：△DEF 为等腰三角形；
（3）若 AG=AD=
3+
√
3
，求 EF 的长.
【解析】（1）∠ADE+ DAE+ AED= AED+ DEF+ BEF∠ ∠ ∠ ∠ ∠
（2）在 AD 上截取 AM=AE，易证△DEM EFB≌△ ，
∴DE=EF，
∴△DEF 为等边三角形
（3）∵AG=AD，
∴∠GDC=45°，作 FN CD⊥，
2
设CN=x，则 DN=
√
3
x，
则x+
√
3
x=3+
√
3
∴EF=DF=2
√
2
.
练习 4-1 如图 1，在菱形 ABCD 中 ， AC=6 ，BD=6 ，AC ，BD 相交于点
O．™™
（1）求边 AB 的长；™
（2）如图 2，将一个足够大的直角三角板 60°角的顶点放在菱形 ABCD 的顶点
A处，绕点 A左右旋转，其中三角板 60°角的两边分别于边 BC，CD 相交于
E，F，连接 EF 与AC 相交于点 G．™
①判断△AEF 是哪一种特殊三角形，并说明理由；™
②旋转过程中是否存在线段 EF 最短，若存在，求出最小值，若不存在，请说明
理由．
【解析】（1）∵AC=6，BD=6
√
3
，
∴OA=3，BO=3
，
∴AB=
√
OA2+OB2=6
；
（2）①△AEF 是等边三角形，
∵OA=3，AB=6，
3
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