《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题7几何图形—7.1半角模型之90°和45°

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半角模型基本结论与证明

半角模型：指的是一个大角夹着一个度数为它一半的角。过等腰三角形顶角的

顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半

条件：四边形 ABCD 中，E、F分别在 BC、CD（或延长线上），具备下列三个

条件：

①AB=AD（共顶点等线段）；②∠BAD=2 EAF∠；（共顶点的倍半角）

③∠B+ ADC=180°∠（或∠BAD+ BCD=180°∠）（对角互补四边形）

结论： EF=BE+DF （延长线上为 EF=BE-DF ）； AE 平分 ∠ BEF ，AF 平分

∠EFD。

情形一：角内含半角（补短）情形二：角外含半角（截长）

我们习惯把这样的模型称为半角模型。

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角

两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后

证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得出线段之间的数量关系，

从而解决问题。

主要有两种模型：（1）90°夹45°模型：①正方形一个内角夹 45 度角，45°角在

90°角的内部；一半在内部一半在外部；②等腰直角三角形顶角夹 45 度角；

（2）120°夹60°。

模型一：90°夹45°

例1、如图，点 E、F分别是正方形 BC、CD 上的点，∠EAF=45°，求证：

（1）DF+BE=EF；（2）AE 平分∠BEF，AF 平分∠EFD

证明：延长 CB 至点 G，使得 BG=DF（在 CD 上补 BE 亦可）

△ABG ADF≌△ （SAS） △AEG AEF≌△ （SAS）

结论：

如图，在正方形 ABCD 中，E，F分别是 BC，CD 边上的点，∠EAF=45°，证明

以下结论：

(1)EF=BE+DF； (2) CEF△ 的周长是正方形边长的 2倍；

(3)FA 平分∠DFE，EA 平分∠BEF； (4)S AEF△=S AEB△+S AFD△

(5)将△ABE 与△ADF 分别沿 AE、AF 折叠，B、D会落在 EF 上同一点。（本

命题的一些逆命题亦真）

【经典例题 1——转】如图①，四边形 ABCD 是正方形，点 E是边 BC 上一动

点，在边 CD 上取一点 F，使∠EAF=45°，连接 EF．

（1）试判断 EF，BE，DF 间的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，连接 BD，分别交 AE，AF 于点 M和点 N，若 EF BD∥，求

∠BAE 的度数；

（3）如图③，连接 EN，在点 E的移动过程中，判断 EN 和AF 的位置关系并证

明．

【解析】（1）证明：延长 CB 到G，使 BG=DF，连接 AG．如图所示：

∵四边形 ABCD 是正方形，

∴AB=AD=BC=CD，∠ABE= D=90°∠，∠CBD= CDB=45°∠，

∴∠ABG=90°= D∠，

∵△ABG 和△ADF 中，

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