《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题5—5.4概率计算小题

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概率的计算

一．用列表法和树状图法求事件的概率

1.列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，为了不重

不漏地列举出所有可能的结果，我们采用列表法来求出某事件的概率．

2.树状图法：当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能

的结果，通常采用树形图法来求出某事件的概率．树形图列举法一般是选择一

个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的树丫形式，最末端的树丫个

数就是总的可能的结果．

二．用频率估计概率

实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验

时，随着试验次数的增加，一个时间出现的频率，总在一个固定的数附近摆

动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机

事件发生的频率去估计它的概率．

一．等可能事件的概率

一般地，如果一个试验有 n个等可能的结果，事件 A包含其中的 m个结

果，那么，那么事件 A发生的概率为：．

等可能事件有：任意投掷一枚均匀的骰子，任意在一模一样的球中抽取其

中一个．

知识点一：概率

1.概率及公式

定义表示一个事件发生的可能性大小的数．

概率公式 P(A)＝(m表示试验中事件 A出现的次数，n表示所有等可能出

现的结果的次数)．

例：设有 12 只型号相同的杯子，其中一等品 7只，二等品 3只，三等品 2只，

则从中任意取出一只是二等品的概率是 .

例：设有 12 只型号相同的杯子，其中一等品 7只，二等品 3只，三等品 2只，

知识精讲

则从中任意取出一只是二等品的概率是 .

2.用频率可以估计概率

一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率会稳定在某个常数 p附

近，那么事件 A发生的概率 P(A)＝p＝.

例：在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，

小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 0.3 左右，则摸到白球

的概率为 0.7.

1.利用频率估算法：大量重复试验中，事件 A发生的频率

会稳定在某个

常数 p附近，那么这个常数 p就叫做事件 A的概率（有些时候用计算出Ａ发生

的所有频率的平均值作为其概率）．

2.狭义定义法：如果在一次试验中，有 n种可能的结果，并且它们发生的可

能性都相等，考察事件 A包含其中的 m中结果，那么事件 A发生的概率为

P（A）=

3.列表法：当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目较多时，为

不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．其中一个因素作为行标，

另一个因素作为列标．

4、当事件中涉及的有两个以上的因素时，用树形图的形式不重不漏地列出所有

可能的结果的方法叫树形图法.

3.事件的类型及其概率

事件类型概率

确定性事件 1或0

必然事件 1

不可能事件 0

不确定性事件(随机事件)0<P(A)<1

例：下列 4个事件：①异号两数相加，和为负数；②异号两数相减，差为正

数；③异号两数相乘，积为正数；④异号两数相除，商为负数．其中必然事件

是④，不可能事件是③．

知识点二：随机事件概率的计算

4.随机事件概率的计算方法

(1)一步完成：直接列举法，运用概率公式计算；

(2)两步完成：列表法、画树状图法；

(3)两步以上：画树状图法

树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步

完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.

知识点三：几何概率的计算*

5.几何概率的计算方法

求出阴影区域面积与总面积之比即为该事件发生的概率.

几何概率的考查一般结合特殊三边形、四边形或圆的基本性质，不一定把具体

的面积求出来，只需要求出比值即可.

【经典例题1】（2020•邵阳）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案

（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用

一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机

地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上

或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示

的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为　　

A．B．C．D．

【解答】假设不规则图案面积为，

由已知得：长方形面积为，

根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，

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