《决胜中考数学考前抢分冲刺（全国通用）》专题04 平移，翻折，旋转新题型（解析版）
专题 04 平移，翻折，旋转新题型(解析版）
一．一次函数图象上点的坐标特征
1．如图，在菱形
ABCD
中，∠
BAD
＝60°，点
A
（1，1），
C
在直线
y
＝
x
上，且
AB
＝2，将菱形
ABCD
绕原点
O
逆时针旋转，每次转动 45°，则第 2022 次旋转结束后，点
C
的坐标为（ ）
A．（1
−
√
6
，1
−
√
6
） B．（
√
6−
1，
√
6−
1） C．（
√
6−
1，1
−
√
6
） D．（1
−
√
6
，
√
6−
1）
思路引领：根据旋转的性质及旋转角，先求出点
C
坐标，由题意可得每次 8 旋转一个循环，即可求解．
答案详解：如图，设菱形对角线
AC
与
BD
交与点
E
，
∵点
A
（1，1），点
A
，
C
在直线
y
＝
x
上，
∴
OA
¿
√
2
，∠1＝45°，
∵∠
BAD
＝60°，
AB
＝2，四边形
ABEF
是菱形，
∴∠
BAE
＝30°，
∴
AE
＝
AB
•cos30°＝2
×
√
3
2=
√
3
，
∴
AC
＝2
AE
＝2
√
3
，
∴
OC
＝
AC
﹣
OA
＝2
√
3−
√
2
，
∴第一次旋转 45°，点
C
的坐标为（0，
√
2−
2
√
3
），
第二次旋转 45°，点
C
的坐标为（
√
6−
1，1
−
√
6
），
第三次旋转 45°，点
C
的坐标为（2
√
3−
√
2
，0），
第四次旋转 45°，点
C
的坐标为（
√
6−
1，
√
6−
1），
第五次旋转 45°，点
C
的坐标为（0，2
√
3−
√
2
），
第六次旋转 45°，点
C
的坐标为（1
−
√
6
，
√
6−
1），
由题意可得每次 8 旋转一个循环，
1
∵2022÷8＝252⋯⋯6，
∴第 20222 次旋转结束时，点
C
的坐标与第 6 次旋转后点
C
的坐标相同，为（1
−
√
6
，
√
6−
1），
故选：
D
．
二．二次函数图象与几何变换
2．如图，将二次函数
y
＝
x
2﹣4 位于
x
的下方的图象沿
x
轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的实线）
（1）当
x
＝
x
＝﹣ 2
或
x
＝ 2 时，新函数有最小值；
（2）当新函数中函数
y
随
x
的增大而增大时，自变量
x
的范围是 ﹣ 2 ＜
x
＜ 0
或
x
＞ 2 ；
（3）当
a
≤4 时，探究一次函数
y
＝2
x
+
a
的图象与新函数图象公共点的个数情况．
思路引领：（1）直接根据函数图象与
x
轴的交点进行解答即可；
（2）由函数图象可知当﹣2＜
x
＜0 或
x
＞2 时
y
随
x
的增大而增大；
（3）先用
a
表示出一次函数与
x
轴、
y
轴的交点坐标，再根据二次函数与
x
轴的交点坐标进行讨论即可．
答案详解：（1）∵由函数图象可知，当
x
＝﹣2 或
x
＝2 时，函数图象有最低点，即函数有最小值，
∴当
x
＝﹣2 或
x
＝2 时，函数
y
有最小值．
故答案为：
x
＝﹣2 或
x
＝2；
（2）∵由函数图象可知当﹣2＜
x
＜0 或
x
＞2 时
y
随
x
的增大而增大，
∴
x
的取值范围是：﹣2＜
x
＜0 或
x
＞2，
故答案为：﹣2＜
x
＜0 或
x
＞2；
（3）∵一次函数
y
＝2
x
+
a
与
x
轴的交点为（
−a
2
，0），与
y
轴的交点为（0，
a
），
∴当直线
y
＝2
x
+
a
过点（2，0）时，也过点（0，﹣4），或当直线
y
＝2
x
+
a
过点（﹣2，0）时，也过点
（0，4），
∴当
a
＜﹣4 时，没有交点；
当
a
＝﹣4 时，有 1 个交点；
当﹣4＜
a
＜4 时，有 2 个交点；
当
a
＝4 时，有 3 个交点．
2
三．抛物线与 x 轴的交点
3．如图，将二次函数
y
＝
x
2﹣
m
（其中
m
＞0）的图象在
x
轴下方的部分沿
x
轴翻折，图象的其余部分保持
不变，形成新的图象记为
y
1，另有一次函数
y
＝
x
+
b
的图象记为
y
2，则以下说法：
①当
m
＝1，且
y
1与
y
2恰好有三个交点时
b
有唯一值为 1；
②当
b
＝2，且
y
1与
y
2恰有两个交点时，
m
＞4 或 0＜
m
＜7
4
；
③当
m
＝﹣
b
时，
y
1与
y
2一定有交点；
④当
m
＝
b
时，
y
1与
y
2至少有 2 个交点，且其中一个为（0，
m
）．
其中正确说法的序号为 ②④ ．
思路引领：①错误．如图 1 中，当直线
y
＝
x
+
b
与抛物线相切时，也满足条件只有三个交点．此时
b
≠1，故①错误．
②正确．如图 2 中，当抛物线经过点（﹣2，0）时，0＝4﹣
m
，
m
＝4，观察图象可知
m
＞4 时，
y
1与
y
2恰
有两个交点．
③错误．如图 3 中，当
b
＝﹣4 时，观察图象可知，
y
1与
y
2没有交点，故③错误．
④正确．如图 4 中，当
b
＝4 时，观察图象可知，
b
＞0，
y
1与
y
2至少有 2 个交点，且其中一个为
（0，
b
），故④正确．
答案详解：①错误．如图 1 中，当直线
y
＝
x
+
b
与抛物线相切时，也满足条件只有三个交点．此时
b
≠1，故①错误．
3
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