《决胜中考数学考前抢分冲刺（全国通用）》专题03 半角模型（模型讲解）

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专题 03 半角模型
半角模型：是指有公共顶点，锐角等于较大的角的一半，且较大的角的两边相等(不等)，通过旋转，
可将角进行等量转化，构造全等（相似）的三角形的几何模型。
主要解法：一、经典之旋转法。二、创新之翻折法。三、常规之补短法。
熟练掌握：正方形的 10 个结论。
学会变通：矩形通过截或补变成正方形。
含 60°角的菱形除旋转外，还可以借助对角线，构成等边三角形，利用三边相等，构造全等。
模型总讲:
如图，已知在正方形 ABCD 中，∠EAF =45°，连接 BD 与AM，AN 分别交于 E、F两点。
1. BE+DF=EF；
2. △CEF 的周长等于正方形的边长的 2 倍。
3. S△ABE+S△ADF=S△AEF
4. 点A到MN 的距离等于正方形的边长；即 AH=AD
5. MN2=MB2+DN2；
6. 点 A,M,F,D 四点共圆。点 A,B,E,N 四点共圆. 点 M,E,F,N
四点共圆。点 N,F,C,E,M 五点共圆。
7. 证明△AFM 和△AEN 为等腰直角三角形。
8.
MN
EF
=
√
2
2
9. S△AMF=2S△AEF
10. 5 组相似
△HMN∼△DFN(图9)
△HMN∼△BME(图10)
△AMN∼△BNA(图11)
△AMN∼△DMA(图12)
△ AMN AFE∽△
证明如下:
结论 1
(图 1)将△ABE 逆时针旋转 90°，与△ADE'重合.
则 AE=AE', ∠BAE=∠DAE’,易得 ∠EAF=∠E'AF=45°
A
O
H
N
M
E
B
C
D
F
E'
O
E
B
C
D
1
又∵ AF=AF
∴△EAF ≌ △E'AF（SAS）(图 2)
∴EF=E'F=DE'+DF
∴BE+DF=EF(结论 1 成立)
结论 2
由结论 1 可得:
C△CEF=CE+CF+EF= CE+CF+BE+DF=BC+CD=2BC
即△CEF 的周长等于正方形的边长的 2 倍。(结论二成立)
结论 3
∵ △EAF ≌ △E'AF（SAS）
∴ S△EAF= S△E'AF
由旋转可得 S△E'AF = S△ABE+S△ADF
∴ S△ABE+S△ADF=S△AEF(结论 3 成立)
结论 4
∵ △EAF ≌ △E'AF（SAS）
∴ AH=AD(全等三角形对应高相等)
即点 A到MN 的距离等于正方形的边长(结论 4成立).
结论 5
证明: (图3)把△△AND 顺时针旋转 90°，使 AD 与AB 重合。
可得 AG=AD,BG=DN,
∠BAG= DAN. ABG= D=45°.∠ ∠ ∠
∠GBM=90°.
易得∠GAM= NAM=45°.∠
∴ △GAM≅△AMN(图4)
∴ GM=MN
在Rt GMB△中
BG2+BM2=GM2
∴ MN2=MB2+DN2
（等腰直角三角形的半角可以看作正方形的一半。）
结论 6: 由题意可得：
∠BDF= FHE=45°∠（等弦对等角）
⇒点A,M,F,D 四点共圆。(图5)
⇒∠AMF=90°
∠HFM=45°
A
E'
O
H
N
M
E
B
C
D
F
图2
E
F
B
G
N
D
A
M
图3
E
F
B
G
N
D
A
M
图4
A
O
H
N
M
E
B
C
D
F
图5
E'
O
E
B
C
D
图1
2
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