《决胜中考数学考前抢分冲刺（全国通用）》专题03 半角模型（解析版)

3.0 envi 2025-04-21 14 4 646.74KB 15 页 3知币
侵权投诉
专题 03 半角模型
一、半角模型与正方形
1.通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图 1，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，∠EAF＝45°，连接 EF，试猜想 EF、BE、DF
之间的数量关系．
（1）思路梳理
把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG，可使 AB 与 AD 重合，由∠ADG＝∠B＝90°，得∠FDG＝180°，
即点 F、D、G 共线，易证△AFG≌　 △ AFE 　 ，故 EF、BE、DF 之间的数量关系为　 BE+FD ＝ EF 　 ．
（2）类比引申
如图 2，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 CB、DC 的延长线上，
∠EAF＝45°．连接 EF，试猜想 EF、BE、DF 之间的数量关系， 并
给出证明．
解：（1）如图 3 所示：
∵AB＝AD，
∴把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG，可使 AB 与 AD 重合，
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点 F、D、G 共线，
∴∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，
∴∠FAG＝∠FAD+∠GAD＝∠FAD+∠BAE＝90°﹣45°＝45°
＝∠EAF，即∠EAF＝∠FAG．
在△EAF 和△GAF 中，
{
AF =AF
∠EAF =∠GAF
AE=AG
，∴△AFG≌△AFE．
∴EF＝FG．
∴EF＝DF+DG＝DF+BE，即 EF＝BE+DF．
（2）DF＝EF+BE．
理由：如图 4 所示．
∵AB＝AD，
∴把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG，可使 AB 与 AD 重合，
∵∠ADC＝∠ABE＝90°，∴点 C、D、G 在一条直线上．
∴EB＝DG，AE＝AG，∠EAB＝∠GAD．
又∵∠BAG+∠GAD＝90°，∴∠EAG＝∠BAD＝90°．
G
E
D
C
B
A
F
图3
G
E
B
C
D
F
图4
G
E
B
C
D
A
F
图5
E
B
C
D
A
F
图2
1
∵∠EAF＝45°，∴∠FAG＝∠EAG﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°．
∴∠EAF＝∠GAF．在△EAF 和△GAF 中，（如图 5）
{
EA =GA
∠EAF =∠GAF
EF =FG
，∴△EAF≌△GAF．
∴EF＝FG．∵FD＝FG+DG，∴DF＝EF+BE．
2．如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 为 BC 上一点，
连接 DE，把△DEC 沿 DE 折叠得到△DEF，
延长 EF 交 AB 于点 G，连接 DG．
（1）∠EDG＝　 45 　 °；
解：（1）如图 1，∵四边形 ABCD 是正方形，
∴DC＝DA．∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，
∵△DEC 沿 DE 折叠得到△DEF，
∴∠DFE＝∠C，DC＝DF，∠1＝∠2，
∴∠DFG＝∠A＝90°，DA＝DF，
在 Rt△DGA 和 Rt△DGF 中，
{
DG=DG
DA =DF
，
∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），
∴∠3＝∠4，
∴∠EDG＝∠3+∠2
¿1
2
∠ADF
+1
2
∠FDC，
¿1
2
（∠ADF+∠FDC），
¿1
2
×
90°，
＝45°；
（2）如图 2，若正方形边长为 6，点 E 为 BC 的中点，连接 BF．
①求线段 AG 的长；
②求△BEF 的面积；
（2）①由（1）知：Rt△DGA≌Rt△DGF，
∴AG＝FG，
∵E 为 BC 的中点，
∴CE＝EF＝BE＝3，
设 AG＝x，则 BG＝6﹣x，
在 Rt△BEG 中，由勾股定理得：EG2＝BG2+BE2，
（3+x）2＝32+（6﹣x）2，
x＝2，∴AG＝2；
②由①知：BG＝4，BE＝3，∴S△BEG
¿1
2
×3×4=¿
6，
∵EF＝3，FG＝2，
F
G
A
B
D
C
E
图1
3
x
x
6-
x
3
3
F
G
E
A
B
C
D
图2
2
∴S△
BEF
¿3
5
S△BEG=3
5
×6=18
5
；
（3）如图 3
∵DE＝DG，∠DFE＝∠C＝90°，
∴点 F 是 EG 的中点，
∴AG＝FG＝EF＝CE＝a，
∵AB＝BC，
∴BE＝BG，
∴BE2+BG2＝EG2，
∴2BE2＝4a2，
∴BE2＝2a2．
故答案为：2a2．
3．如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 DC、BC 上的点，∠EAF＝45°，△ECF 的周长为 4，则正方形
ABCD 的边长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：将△BAF 绕点 A 顺时针旋转 90 度到△DAF′位置，
由题意可得出：△BAF≌△DAF′，
∴BF＝DF′，∠BAF＝∠DAF′，
∴∠EAF′＝45°，
在△FAE 和△EAF′中，
{
AF=AF '
∠FAE=∠EAF '
AE =AE
，
∴△FAE≌△EAF′（SAS），
∴EF＝EF′，
∵△ECF 的周长为 4，
∴EF+EC+FC＝FC+CE+EF′＝FC+DC+DF′＝BF+FC+DC＝4，
∴2DC＝4，
∴DC＝2．
故选：A．
a
a
a
a
F
G
A
B
C
D
E
图3
45
°
F
B
C
D
A
E
第3
题
3
《决胜中考数学考前抢分冲刺（全国通用）》专题03 半角模型（解析版).docx

共15页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：初中 价格：3知币 属性：15 页 大小：646.74KB 格式：DOCX 时间：2025-04-21

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 15
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注