《九年级中考数学一轮复习练习》6.3　与圆有关的计算

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6.3
　
与圆有关的计算学用 P50
[过关演练]
　
(40 分钟
　　
75 分)
1.如图,在正六边形 ABCDEF 中,AC=2
√
3
,则它的边长是 (D)
A.1 B.
√
2
C.
√
3
D.2
【解析】过点 B作BG⊥AC 于点 G.在正六边形 ABCDEF 中,每个内角为
(6−2)×180 °
6
=120°,∴∠ABC=120°,∠BAC=∠BCA=30°,∴AG=
1
2
AC=
√
3
,∴AB=
AG
cos 30 °
=2,即边长为 2.
2.(2020·沈阳)如图,在矩形 ABCD 中,AB=
√
3
,BC=2,以点 A为圆心,AD 长为半径画弧交边 BC 于点 E,连接 AE,
则
的长为 (C)
A.
4π
3
B.π C.
2π
3
D.
π
3
【解析】∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD=BC=2,∠B=90°.由题知 AE=AD=2.∵AB=
√
3
,
∴cos ∠BAE=
AB
AE
=
√
3
2
,∴∠BAE=30°,∴∠EAD=60°,∴
´
DE
的长=
60 π ×2
180
=
2π
3
.
3.(2020·黑龙江大庆)底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为 1∶3,则圆锥与圆柱的体积的比为 (D)
A.1∶1 B.1∶3
C.1∶6 D.1∶9
1
【解析】设圆锥和圆柱的底面圆的半径为 r,圆锥的高为 h,则圆柱的高为 3h,所以圆锥与圆柱的体积的比=
1
3· π r2·ℎ
π r2·3ℎ
=
1
9
.
4.(2020·合肥瑶海区二模)如图,ABCDEF 为☉O的内接正六边形,AB=a,则图中阴影部分的面积是 (B)
A.
π
6
a2B.
(
π
6−
√
3
4
)
a2
C.
√
3
4
a2D.
(
π
3−
√
3
4
)
a2
【解析】∵正六边形的边长为 a,∴☉O的半径为 a,∴☉O的面积为 πa2.∵正六边形由六个边长为 a的正三角形组
成,
∴每个三角形的面积为
1
2
a·
√
3
2
a=
√
3
4
a2,∴阴影部分的面积为
π
6
a2-
√
3
4
a2=
(
π
6−
√
3
4
)
a2.
5.如图,边长为 1的菱形 ABCD 的两个顶点 B,C恰好落在扇形 AEF 的
´
EF
上.若∠BAD=120°,则
´
BC
的长度等
于
f
π
3
　
.(结果保留 π)$
【解析】连接 AC.∵四边形 ABCD 是菱形,∠BAD=120°,∴∠BAC=60°,∴
´
BC
的长度为
60 π ×1
180
=
π
3
.
6.把边长相等的正六边形 ABCDEF 和正五边形 GHCDL 的CD 边重合,按照如图所示的方式叠放在一起,延长 LG
交AF 于点 P,则∠APG=
　f f
144°
f f　f f
.
2
【解析】由题知∠A=∠B=∠BCD=
(6−2)×180 °
6
=120°,∠CDL=∠L=
(5−2)×180 °
5
=108°.∵∠A+∠B+∠BCD+∠CDL+∠L+∠APG=(6-2)×180°=720°,∴∠APG=144°.
7.如图,以正六边形 ABCDEF 的对角线 AC 的中点 O为圆心,OB 为半径作☉O,AQ 切☉O于点 P,并交 DE 于点 Q.
若AQ=12
√
3
,则该圆的半径为
　f f
3+
f f
√
6
　
.
【解析】如图,连接 OB,OP.∵AB=BC,O为AC 的中点,∴OB⊥AC.∵AQ 是☉O的切线,∴OP⊥AQ.设该圆的半径为
r,∴OB=OP=r.∵∠ABC=120°,∴∠BAO=30°,∴AB=BC=CD=2r,AO=
√
3
r,∴AC=2
√
3
r,∴sin ∠PAO=
OP
AO
=
r
√
3r
=
√
3
3
.过点 Q作QG⊥AC 于点 G,过点 D作DH⊥QG 于点 H,则四边形 DHGC 是矩形.
∴HG=CD,DH=CG,∠HDC=90°,∴sin ∠PAO=
QG
AQ
=
QG
12
√
3
=
√
3
3
,∴QG=12,∴AG=
√
A Q2−Q G2
=12
√
2
,∴tan ∠QDH=tan 30°=
QH
DH
=
12 −2r
2
√
3r −12
√
2
=
√
3
3
,解得 r=3+
√
6
,即该圆的半径为 3+
√
6
.
3
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