《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题27 相似三角形中的黄金分割问题专练（二）（解析版）

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专题 27 相似三角形中的黄金分割问题专练（二）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 点B是线段 AC 的黄金分割点，且
AB<BC
，若
AC=2
，则 BC 的长为
()
A.
√
5+1
2
B.
√
5−1
2
C.
√
5+1
D.
√
5−1
【答案】D
【分析】根据黄金分割的定义可得出较长的线段
，将
AC=2
代入即可
得出 BC 的长度．
本题考查了黄金分割的定义：把线段 AB 分成两条线段 AC 和
BC(AC >BC)
，且使 AC
是AB 和BC 的比例中项
¿
即AB：
AC=AC
：
BC ¿
，叫做把线段 AB 黄金分割，点 C叫
做线段 AB 的黄金分割点．其中
AC=
√
5−1
2AB≈ 0.618 AB
，并且线段 AB 的黄金分
割点有两个．
【解答】解：
∵
点B是线段 AC 的黄金分割点，且
AB<BC
，
∴BC=
√
5−1
2AC
，
∵AC=2
，
∴BC=
√
5−1
．
2. 顶角为
36 °
的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三
角形”，它的底与腰的比值为
√
5−1
2.
如图，在
△ABC
中，
∠A=36 °
，
AB=AC
，BD 平分
∠ABC
交AC 于点 D，
若
CD=1
，则 AC 的长为
()
1
A.
√
5−1
2
B.
√
5+1
2
C.
√
5+2
2
D.
√
5+3
2
【答案】D
【分析】根据黄金三角形的腰与底的比值即可求解．
本题考查了黄金分割、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握黄金分割．
【解答】解：
∵
在
△ABC
中，
∠A=36 °
，
AB=AC
，
∴∠ ABC=∠ACB=72 °
，
∵BD
平分
∠ABC
，
∴∠ DBC=∠ABD=36 °
，
∴AD=BD
，
∴∠ BDC=72°
，
∴BD=BC
，
∴△ABC
和
△BDC
都是顶角为
36 °
的等腰三角形．
∵
顶角为
36 °
的等腰三角形为“黄金三角形”，
它的底与腰的比值为
√
5−1
2
，
∴DC
BC =BC
AC =
√
5−1
2
即
1
BC =BC
AC =
√
5−1
2
∴BC=
√
5+1
2
，
AC=
√
5+3
2
．
3. 点C是线段 AB 的黄金分割点
(AC>CB)
，若
AB=2
时，则
AC 的长度是
()
2
A.
√
5−1
2
B.
3−
√
5
2
C.
√
5−1
D.
3−
√
5
【答案】C
【分析】
此题考查了黄金分割，用到的知识点是黄金分割点的概念，关键是熟记黄金比的值，
列出算式．根据点 C是线段 AB 的黄金分割点，且
AC>BC
，得出
AC=
√
5−1
2AB
，
代入数据即可得出 AC 的值．
【解答】
解：
∵C
为线段 AB 的黄金分割点，且
AC>BC
，
∴AC=
√
5−1
2AB
，
∵AB=2
，
∴AC=
√
5−1
2×2=
√
5−1
．
4. 点C为线段 AB 的黄金分割点，且
AC>BC
，下列说法不正确的是
¿
¿
A.
AC=
√
5−1
2AB
B.
AC=AB
C. AB：
AC=AC
：BC D.
AC ≈ 0.618 AB
【答案】B
【分析】
本题考查的是黄金分割的概念，掌握把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全
线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值
√
5−1
2
叫做
黄金比是解题的关键．根据黄金分割的概念和黄金比值进行解答即可．
【解答】
解：
∵
点C数线段 AB 的黄金分割点，
∴AC=
√
5−1
2AB
，A正确；
3
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