《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题26 相似三角形中的黄金分割问题专练（一）（解析版）

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专题 26 相似三角形中的黄金分割问题专练（一）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近
0.618
时越给人一种美感．
已知某女士身高
160 cm
，下半身长与身高的比值是
0.60
，为尽可能达到好的效果，
她应穿的高跟鞋的高度约为
()
A.
6cm
B.
10 cm
C.
4cm
D.
【答案】D
【分析】
本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．先求得下半身
的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．
【解答】
解：根据已知条件得下半身长是
160 ×0.60=96 cm
，
设需要穿的高跟鞋是 ycm，则根据黄金分割的定义得：
96+y
160+y=0.618
，
解得：
y ≈ 8cm
．
2. 已知点 P是线段 AB 的黄金分割点，且
AP>PB
，则有
()
A.
A B2=AP·PB
B.
A P2=BP·AB
C.
B P2=AP·AB
D.
AP·AB=PB·AP
【答案】B
【分析】
本题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段即
可
.
由
AP>BP
知AP 是较长线段，根据黄金分割点的定义，则
A P2=BP·AB
．
【解答】
解：
∵P
为线段 AB 的黄金分割点，且
AP>BP
，
∴A P2=BP·AB
．
1
3. 矩形的两边长分别为 a，b，下列数据能构成黄金矩形的是
()
A.
a=4
，
b=
√
5+2
B.
a=4
，
b=
√
5−2
C.
a=2
，
b=
√
5+1
D.
a=2
，
b=
√
5−1
【答案】D
【分析】
本题主要考查了黄金矩形，记住定义是解题的关键．根据黄金矩形的定义判断即可．
【解答】
解：
∵
宽与长的比是
√
5−1
2
的矩形叫做黄金矩形，
∴b
a=
√
5−1
2
，
∴a=2
，
b=
√
5−1
．
4. 已知点 C是线段 AB 的黄金分割点，且
AC>BC
，
AB=200
，则 AC 的长度是
()
A.
200(
√
5−1)
B.
100(
√
5−1)
C.
100(3−
√
5)
D.
50(
√
5−1)
【答案】B
【分析】根据黄金分割的定义得到
AC=
√
5−1
2AB
，把
AB=200
代入计算即可．
本题主要考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较
长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的
√
5−1
2
倍，则这
个点叫这条线段的黄金分割点，难度适中．
【解答】解：
∵
点C是线段 AB 的黄金分割点，且
AC>BC
，
∴AC=
√
5−1
2AB
，
而
AB=200
，
2
∴AC=
√
5−1
2×200=100 (
√
5−1)
．
5. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足
底的长度之比是
√
5−1
2¿
，称为黄金分割比例
¿
，著名的“断臂
维纳斯”便是如此．某女老师上身长约
61.8 cm
，下身长约
94cm，为尽可能达到黄金比的美感效果好，她应穿的高跟鞋的
高度大约为
¿
精确到
1cm¿()
A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm
【答案】C
【分析】设她应穿的高跟鞋的高度大 xcm，利用黄金分割的定义得到
61.8
94+x=
√
5−1
2
，
然后解关于 x的方程即可．
本题考查了黄金分割：把线段 AB 分成两条线段 AC 和
BC(AC>BC )
，且使 AC 是AB
和BC 的比例中项
¿
即AB：
AC=AC
：
BC ¿
，叫做把线段 AB 黄金分割，点 C叫做线
段AB 的黄金分割点．其中
AC=
√
5−1
2AB≈ 0.618 AB
，并且线段 AB 的黄金分割点
有两个．
【解答】解：设她应穿的高跟鞋的高度大 xcm，
根据题意得
61.8
94+x=
√
5−1
2
，
解得
x ≈ 6(cm)
，
答：她应穿的高跟鞋的高度大约
6cm ¿
精确到
1cm¿
．
6. 若点 C是线段 AB 的黄金分割点，且
AD>BC
，则下列说法正确的有
()
①AB=
√
5+1
2AC
；
②AC=3−
√
5
2AB
；
③AB
：
AC=AC
：BC；
④AC ≈ 0.618 AB
．
3
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