《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题25 相似三角形中的解答题培优专练（二）（解析版）

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专题 25 相似三角形中的解答题培优专练（二）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、解答题
1.
(1)
尝试探究如图 1，
Rt △ABC
中，
AB=AC
，
AD
是高，点 E是
AB
边上一点，
CE
与
AD
交于点 G，过点 E作
交
BC
于点
F .
若
AE=2BE
，则
EF
与
EG
的数量关系是________________．

(2)
类比延伸
如图 2，在
(1)
的条件下，若
AE=nBE
(
n>0
)
，则
EF
与
EG
的数量关系是______
__________
¿
用含 n的代数式表示
¿
，试写出解答过程；

(3)
拓展迁移
1
如图 3，
Rt △ABC
中，
∠BAC =90∘
，
AD
是高，点 E是
AB
边上一点，
CE
与
AD
交于点 G，过点 E作
交
BC
于点 F，若
AE=aBE
，
AB=bAC
(
a>0, b>0
)
，则
EF
与
EG
的数量关系是________________．

【答案】解：
(1)EG=2EF
；
(2)EG=nEF
．
理由：
如图 2中，过点 E分别作
EP⊥BD
于点 P，作
EQ ⊥AD
于点 Q．
∴∠ BPE=∠AQE=90 °
．
∵AD
是等腰直角三角形的高，
∴∠ B=∠EAQ=45 °
，
∴△BPE
∽
△AQE
，
∴EP
EQ =BE
AE
，
∵AE=nBE
，
∴EQ=nEP
．
2
∵∠ FEP+∠PEG=90 °
，
∠GEQ+∠PEG=90 °
，
∴∠ FEP=∠GEQ
．
又
∵∠ EPF =∠EQG=90 °
，
∴△EPF
∽
△EQG
，
∴EP
EQ =EF
EG
，
∴EG=nEF
．
故答案为
EG=2EF
；
(3)EG =abEF
【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形，本
题需要用到多次相似，属于中考常考题型．
(1)
如图 1中，过点 E分别作
EP⊥BD
于点 P，作
EQ ⊥AD
于点 Q，先证明
△BPE
∽
△AQE
，再证明
△EPF
∽
△EQG
即可；
(2)
如图 2中，过点 E分别作
EP⊥BD
于点 P，作
EQ ⊥AD
于点 Q，证明方法类似
(1)
；
(3)
如图 3中，过点 E分别作
EP⊥BD
于点 P，作
EQ ⊥AD
于点 Q，由
△EPF
∽
△EQG
，得
AE
BE =AQ
EP ①
，由
△AEQ
∽
△CBA
，得
AB
AC =EQ
AQ
②
，
①×②
得
EQ
EP =ab
，由此即可解决问题．
【解答】
解：
(1)EG=2EF
；
理由：如图 1中，过点 E分别作
EP⊥BD
于点 P，作
EQ ⊥AD
于点 Q．
3
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