《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题24 相似三角形中的解答题培优专练（一）（解析版）

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专题 24 相似三角形中的解答题培优专练（一）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、解答题
1. 在
△ABC
中，
CA=CB
，
∠ACB=α(0°<α<180 °).
点P是平面内不与 A，C重
合的任意一点，连接 AP，将线段 AP 绕点 P逆时针旋转
α
得到线段 DP，连接
AD，
CP .
点M是AB 的中点，点 N是AD 的中点．
(1)
问题发现
如图 1，当
α=60 °
时，
的值是______，直线 MN 与直线 PC 相交所成的较小
角的度数是______．
(2)
类比探究
如图 2，当
α=120 °
时，请写出的
MN
PC
值及直线 MN 与直线 PC 相交所成的较小角
的度数，并就图 2的情形说明理由．
(3)
解决问题
如图 3，当
α=90 °
时，若点 E是CB 的中点，点 P在直线 ME 上，请直接写出点
B，P，D在同一条直线上时
PD
MN
的值．
【答案】
1
2

60 °
1
【分析】
(1)
如图 1中，连接 PC，BD，延长 BD 交PC 于K，交 AC 于
G .
证明
△PAC
≌
△DAB (SAS)
，利用全等三角形的性质以及三角形的中位线定理即可解决问题．
(2)
如图设 MN 交AC 于F，延长 MN 交PC 于
E .
证明
△ACP
∽
△AMN
，推出
∠ACP=∠AMN
，
MN
PC =AM
AC =
√
3
2
可得结论．
(3)
分两种情形分别画出图形，利用三角形中位线定理即可解决问题．
本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性
质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确
寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考
压轴题．
【解答】解：
(1)
如图 1中，连接 PC，BD，延长 BD 交PC 于K，交 AC 于G．
∵CA=CB
，
∠ACB=60 °
，
∴△ABC
是等边三角形，
∴∠ CAB=∠PAD=60 °
，
AC=AB
，
∴∠ PAC=∠DAB
，
∵AP=AD
，
∴△PAC
≌
△DAB (SAS)
，
∴PC=BD
，
∠ACP=∠ABD
，
∵AN=ND
，
AM =BM
，
∴BD=2MN
，
∴MN
PC =1
2
．
∵∠ CGK =∠BGA
，
∠GCK=∠GBA
，
2
∴∠ CKG=∠BAG=60 °
，
∴BK
与PC 的较小的夹角为
60 °
，
∵MN /¿BK
，
∴MN
与PC 较小的夹角为
60 °
．
故答案为
1
2
，
60 °
．
(2)
如图设 MN 交AC 于F，延长 MN 交PC 于E．
∵CA=CB
，
PA=PD
，
∠APD=∠ACB=120 °
，
∴△PAD
∽
△CAB
，
∴AP
AC =AD
AB
，
∵AM =MB
，
AN=ND
，
∴AP
AC =AN
AM
，
∴△ACP
∽
△AMN
，
∴∠ ACP=∠AMN
，
MN
PC =AM
AC =
√
3
2
，
∵∠ CFE=∠AFM
，
∴∠ FEC=∠FAM=30 °
．
(3)
设
MN =a
，
∵MN
PC =AM
AC =
√
2
2
，
∴PC=
√
2a
，
3
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