《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题23 相似三角形中的平行四边形问题专练（二）（解析版）

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专题 23 相似三角形中的平行四边形问题专练（二）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 如图，点 E，点 F分别在菱形 ABCD 的边 AB，AD 上，且
AE=DF
，BF 交DE 于
点G，延长 BF 交CD 的延长线于 H，若
AF
DF =2
，则
HF
BG
的值为
()
A.
2
3
B.
7
12
C.
1
2
D.
【答案】B
【分析】
本题考查相似三角形的性质和判定、菱形的性质、比例的性质等知识，解题的关键是
利用相似三角形的性质解决问题，学会设参数，属于中考常考题型．设
DF =a
，则
DF =AE=a
，
AF=EB=2a
，由
△HFD ∽ △ BFA
，得
HD
AB =DF
AF =HF
FB =1
2
，求出
FH，再由 ，得
△DGH ∽ △ EGB
，得
HG
GB =HD
EB =1.5a
2a=3
4
，求出 BG 即
可解决问题．
【解答】
解：
∵
四边形 ABCD 是菱形，
1
∴AB=BC=CD=AD
，
∵AF=2DF
，设
DF=a
，则
DF =AE=a
，
AF=EB=2a
，
，
∴△HFD ∽△ BFA
，
∴HD
AB =DF
AF =HF
FB =1
2
，
∴HD=1.5a
，
FH
BH =1
3
，
∴FH=1
3BH
，
，
∴△DGH ∽△ EGB
，
∴HG
GB =HD
EB =1.5a
2a=3
4
，
∴BG
HB =4
7
，
∴BG=4
7HB
，
∴HF
BG =
1
3BH
4
7BH
=7
12
．
2. 如图，已知正方形 ABCD，E为AB 的中点，F是AD 边上的一个动点，连接 EF 将
△AEF
沿EF 折叠得
△HEF
，延长 FH 交BC 于M，现在有如下 5个结论：
2
①△BEM
≌
△HEM
；
②△EFM
定是直角三角形；
③
当M与C重合时，有
DF=3AF
；
④MF
平分正方形
ABCD 的面积；
⑤FH·MH =1
4A B2
，在以上 5个结论中，
正确的有
¿
¿
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【分析】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题，属于中考常考题型．利用正方形的性质，全等三角形的判定和性质，
一一判断即可．
【解答】
解：如图 1中，
∵
四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ A=∠B=90°
，
∵E
为AB 的中点，
∴EA=EB
，
由翻折可知：
FA=FH
，
EA=EH
，
∠A=∠FHE=90 °
，
∵∠ EHM=∠B=90°
，
EM =EM
，
EH =EB
，
∴Rt △EMH
≌
Rt △EMB(HL)
，
∴∠ MEH=∠MEB
，
∵∠ FEH =∠FEA
，
3
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