《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题22 相似三角形中的平行四边形问题专练（一）（解析版）

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专题 22 相似三角形中的平行四边形问题专练（一）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E在边 AB 上，
BE=1
，
∠DAM=45 °
，点 F在射线 AM 上，且
AF=
√
2
，过点 F作AD 的平
行线交 BA 的延长线于点 H，CF 与AD 相交于点 G，连接 EC、EG、
EF .
下列结论：
①△ECF
的面积为
17
2
；
②△AEG
的周长为 8；
其中正确
的是
()
A.
①②③
B.
①③
C.
①②
D.
②③
【答案】C
【分析】先判断出
∠H=90 °
，进而求出
AH=HF=1=BE .
进而判断出
△EHF
≌
△CBE (SAS)
，得出
EF=EC
，
∠HEF=∠BCE
，判断出
△CEF
是等腰直角三角形，
再用勾股定理求出
E C2=17
，即可得出
①
正确；
先判断出四边形 APFH 是矩形，进而判断出矩形 AHFP 是正方形，得出
AP=PF=AH=1
，同理：四边形 ABQP 是矩形，得出
PQ=4
，
BQ=1
，
FQ=5
，
CQ=3
，再判断出
△FPG
∽
△FQC
，得出
FP
FQ =PG
CQ
，求出
PG=3
5
，再根据勾股定
理求得
EG=17
5
，即
△AEG
的周长为 8，判断出
②
正确；
先求出
DG=12
5
，进而求出
D G2+B E2=169
25
，再求出
E G2=289
25 ≠169
25
，判断出
③
错误，即可得出结论．
此题主要考查了正方形的性质和判断，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定
和性质，勾股定理，求出 AG 是解本题的关键．
【解答】解：如图，
1
在正方形 ABCD 中，
AD /¿BC
，
AB=BC=AD=4
，
∠B=∠BAD=90 °
，
∴∠ HAD=90 °
，
∵HF /¿AD
，
∴∠ H=90°
，
∵∠ HAF=90° −∠DAM=45 °
，
∴∠ AFH =∠HAF
．
∵AF=
√
2
，
∴AH=HF =1=BE
．
∴EH =AE+AH =AB− BE+AH =4=BC
，
∴△EHF
≌
△CBE (SAS)
，
∴EF=EC
，
∠HEF=∠BCE
，
∵∠ BCE+∠BEC =90 °
，
∴∠ HEF +∠BEC =90 °
，
∴∠ FEC=90°
，
∴△CEF
是等腰直角三角形，
在
Rt △CBE
中，
BE=1
，
BC=4
，
∴E C2=B E2+B C2=17
，
∴S△ECF=1
2EF ⋅EC=1
2E C2=17
2
，故
①
正确；
过点 F作
FQ ⊥BC
于Q，交 AD 于P，
∴∠ APF=90°=∠H=∠HAD
，
∴
四边形 APFH 是矩形，
∵AH =HF
，
∴
矩形 AHFP 是正方形，
2
∴AP=PF=AH =1
，
同理：四边形 ABQP 是矩形，
∴PQ=AB=4
，
BQ=AP=1
，
FQ=FP+PQ=5
，
CQ=BC − BQ=3
，
∵AD /¿BC
，
∴△FPG
∽
△FQC
，
∴FP
FQ =PG
CQ
，
∴1
5=PG
3
，
∴PG=3
5
，
∴AG=AP+PG=8
5
，
在
Rt △EAG
中，根据勾股定理得，
EG=
√
A G2+A E2=17
5
，
∴△AEG
的周长为
AG+EG +AE=8
5+17
5+3=8
，故
②
正确；
∵AD=4
，
∴DG=AD − AG =12
5
，
∴D G2+B E2=144
25 +1=169
25
，
∵E G2=¿
，
∴E G2≠ D G2+B E2
，故
③
错误，
∴
正确的有
①②
，
2. 如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AE 平分
∠BAD
，分
别交 BC、BD 于点 E、P，连接 OE，
∠ADC=60°
，
AB=1
2BC=1
，则下列结
论：
①∠CAD=30°
；
②BD=
√
7
；
③SABCD平行四边形 =AB⋅AC
；
3
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