《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题21 相似三角形中的压轴题专练（二）（解析版）

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专题 21 相似三角形中的压轴题专练（二）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 如图，点 A，B分别在反比例函数
y=1
x(x>0)
，
y=a
x(x<0)
的图象上．若
OA ⊥OB
，
OB
OA =2
，则
a的值为
()
A.
−4
B. 4
C.
−2
D. 2
【答案】A
【分析】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数系数 k的几何意义是
解答此题的关键．
过点 A作
轴于点 M，过点 B作
BN ⊥x
轴于点 N，利用相似三角形的判定定理
得出
△AOM
∽
△OBN
，再由反比例函数系数 k的几何意义得出
S△AOM
：
S△BON=1
：
(− a)
，进而可得出结论．
【解答】
解：过点 A作
AM ⊥x
轴于点 M，过点 B作
BN ⊥x
轴于点 N，
∴∠ AMO=∠BNO=90 °
，
∴∠ AOM +∠OAM =90 °
，
∵OA ⊥OB
，
∴∠ AOM +∠BON =90 °
，
∴∠ OAM=∠BON
，
∴△AOM
∽
△OBN
，
1
∵
点A，B分别在反比例函数
y=1
x(x>0)
，
y=a
x(x>0)
的图象上，
∴S△AOM
：
S△BON=1
：
(− a)
，
∴AO
：
BO=1
：
√
−a
，
∵OB
：
OA=2
，
∴a=−4
，
2. 如图，正
△ABC
的边长为 4，点 P为BC 边上的任意一点
¿
不与点 B、C重合
¿
，且
∠APD=60 °
，PD 交AB 于点
D .
设
BP=x
，
BD=y
，则 y关于 x的函数图象大致是
()
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】由
△ABC
是正三角形，
∠APD=60 °
，可证得
△BPD
∽
△CAP
，然后由相
似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
此题考查了动点问题、二次函数的图象以及相似三角形的判定与性质．证得
△BPD
∽
△CAP
是关键．
【解答】解：
∵△ABC
是正三角形，
∴∠ B=∠C=60 °
，
∵∠ BPD+∠APD=∠C+∠CAP
，
∠APD=60 °=∠C
，
∴∠ BPD=∠CAP
，
∴△BPD
∽
△CAP
，
∴BP
：
AC=BD
：PC，
2
∵
正
△ABC
的边长为 4，
BP=x
，
BD=y
，
∴x
：
4=y
：
(4− x )
，
∴y=−1
4x2+x=−1
4¿
，
开口向下，顶点坐标为
(2,1)
．
3. 如图，菱形 ABCD 的边
AB=20
，面积为 320，
∠BAD <90∘
，
⊙O
与边 AB，AD
都相切，
AO=10
，则
⊙O
的半径长等于
()
A. 5B. 6C.
2
√
5
D.
3
√
2
【答案】C
【分析】
本题考查切线的性质、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解
题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．如
图作
DH ⊥AB
于H，连接 BD，延长 AO 交BD 于
E .
利用菱形的面积公式求出 DH，再
利用勾股定理求出 AH，BD，由
△AOF
∽
△DBH
，可得 OA：
BD=OF
：BH，即可
解决问题．
【解答】
解：如图，作
DH ⊥AB
于H，连结 BD，延长 AO 交BD 于E．
∵
菱形 ABCD 的边
AB=20
，面积为 320，
3
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