《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题20 相似三角形中的压轴题专练（一）（解析版）

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专题 20 相似三角形中的压轴题专练（一）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 已知
△ABC
和
△ADE
都是等腰直角三角形，
∠BAC =∠ADE=90 °
，如图所示放置，边 AE，AD 与
BC 于点 M，
N .
则图中一定相似的三角形有
()
对．
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【分析】
此题考查了相似三角形的判定
¿
有两个角分别对应相等的三角形相似
¿.
解此题的关键是
要注意数形结合思想的应用．
根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【解答】
解：依题意可知，
∽
△DAE
，
△BNA
∽
△ANM
∽
△CAM
；
理由：
∵△ABC
与
△ADE
是两个全等的等腰直角三角形，
∠BAC =∠EDA=90°
，
∴∠ C=∠B=∠DAE=∠E=45 °
，
∵∠ CMA=∠B+∠MAB
，
∠NAB=∠NAM +∠MAB
，
∴∠ CMA=∠BAN
，
∴△CAM
∽
△BNA
，
又
∵∠ ANM=∠ANB
，
∠NAM =∠NBA =45 °
，
∴△BNA
∽
△ANM
，
∴△BNA
∽
△ANM
∽
△CAM
；
由题意易知
△ABC
∽
△DAE
，
∴
共有 4对，
1
2. AD 是
△ABC
的中线，E是AD 上一点，
AE=1
4AD
，
BE 的延长线交 AC 于F，则
AF
AC
的值为
()
A.
1
4
B.
1
5
C.
1
6
D.
1
7
【答案】D
【分析】
作
DH /¿BF
交AC 于H，根据
DH /¿BF
得到
AF
FH =AE
ED
，
FH
HC =BD
DC
即可求出
AF
AC
的
值．
本题考查了平行线分线段成比例
.
正确找到比例关系是解题的关键．
【解答】
解：作
DH /¿BF
交AC 于H，
∵AD
是
△ABC
的中线，
∴BD
DC =FH
HC =1
，
∴FH =HC
，
∵DH /¿BF
，
AE=1
4AD
，
∴AF
FH =AE
ED =1
3
，
2
∴AF
CF =1
6
，
∴AF
AC
的值
1
7
．
3. 如图，矩形 ABCD∽矩形 BCFE，且
AD=AE.
则AB：AD 的
值是
()
A.
√
2
：1B.
√
3
：1C.
√
5+1
2
D.
√
5−1
2
【答案】C
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算得到答案．
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
【解答】解：
∵
矩形 ABCD∽矩形 BCFE，
∴FC
AD=AD
AB
，即
AB − AD
AD =AD
AB
，
整理得，
A B2− AD ⋅AB − A D2=0
，
AB=1±
√
5
2AD
，
∴AB
：
AD=
√
5+1
2
，
4. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，
AB=6
，
BC=10
，点 E在CD 上，将
△BCE
沿BE
折叠，点 C恰落在边 AD 上的点 F处；点 G在AF 上，将
△ABG
沿BG 折叠，点 A
恰落在线段 BF 上的点 H处，
①∠EBG=45 °
；
②△≝¿
∽
△ABG
；
③S△ABG =3
2S△FGH
；
④AG+DF =FG .
则下列结论正确的有
¿
¿
3
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