《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题17 相似三角形中的四心问题专练（一）（解析版）

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专题 17 相似三角形中的四心问题专练（一）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 已知直角三角形的两条直角边长分别为 3，4，则该三角形的重心与外心的距离为
()
A.
1
2
B.
5
2
C.
5
3
D.
5
6
【答案】D
【分析】
本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、重心的性质；熟练掌握勾股定
理和重心定理，熟记直角三角形的外心是斜边的中点是解题的关键．
根据勾股定理求出斜边的长度，根据斜边中线长为斜边长的一半求出斜边的中线 CD，
由重心定理即可得出 GD 的长．
【解答】
解：如图所示：设 D为AB 的中点，连接 CD，
∵∠ ACB=90 °
，
∴
斜边
，
∴
斜边 AB 的中线
CD=1
2×5=5
2
，
∵
直角三角形的外心就为直角三角形斜边上的中点，
∴D
为
Rt △ABC
的外心，
∵
重心是三角形中线的交点，故重心 G在中线 CD 上，
1
∴
由重心定理得：
GD=1
3CD=1
3×5
2=5
6
．
2. 如图，点 E为
△ABC
的内心，过点 E作
MN /¿BC
交AB 于点 M，交 AC 于点
N .
若
AB=7
，
AC=5
，
BC=6
，则 MN 的长为
¿
¿
A.
3.5
B. 4C. 5D.
5.5
【答案】B
【分析】连接 EB、EC，如图，利用三角形内心的性质得到
∠1=∠2
，利用平行线的
性质得
∠2=∠3
，所以
∠1=∠3
，则
BM =ME
，同理可得
NC=NE
，接着证明
△AMN
∽
△ABC
，所以
MN
6=7− BM
7
，则
BM =7−7
6MN ①
，同理可得
CN=5−5
6MN ②
，把两式相加得到 MN 的方程，然后解方程即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三
角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的
内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了相似三角形的判定与性质．
【解答】解：连接 EB、EC，如图，
∵
点E为
△ABC
的内心，
∴EB
平分
∠ABC
，EC 平分
∠ACB
，
2
∴∠ 1=∠2
，
∵MN /¿BC
，
∴∠ 2=∠3
，
∴∠ 1=∠3
，
∴BM =ME
，
同理可得
NC=NE
，
∵MN /¿BC
，
∴△AMN
∽
△ABC
，
∴MN
BC =AM
AB
，即
MN
6=7− BM
7
，则
BM =7−7
6MN ①
，
同理可得
CN=5−5
6MN ②
，
①+②
得
MN =12−2MN
，
∴MN =4
．
3. 在
△ABC
中，
AC=6
，
AB=14
，
BC=16
，点 D是
△ABC
的内心，过 D作
DE/¿AC
交BC 于E，则 DE 的长为
()
A.
16
9
B.
16
3
C.
8
3
D.
56
9
【答案】C
【分析】过点 B作
BH /¿AC
，交 AD 的延长线于点 H，由内心的性质可证
AB=BH=14
，
DE=EC
，通过证明
△ACF
∽
△HBF
，可求 CF 的长，通过证明
△≝¿
∽
△ACF
，可求 DE 的长．
本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的内心的性质，利用相似三角形的性质
求出 CF 的长是本题的关键．
3
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