《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题14 相似三角形中的圆的切线问题专练（二）（解析版）

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专题 14 相似三角形中的圆的切线问题专练（二）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 如图，
⊙O
内切于
△ABC
，
∠ACB=90 °
，
AC<BC
，
AB=10
，
⊙O
的半径为 2，G、H分别
为切点，D为
GH
⏜
上一点，过 D作
的切线分别交
AB、BC 于点 E、F，若
EF ⊥AB
，则 EF 的长为
()
A.
√
5
B.
2
√
5
C. 3D. 5
【答案】C
【分析】设
⊙O
与AC 边相切于 M，连接 OM，OG，
根据切线的性质得到
OM ⊥AC
，
OG ∴BC
，推出四
边形 CGOM 是正方形，得到
CM =CG=2
，设
AM =AH =x
，则
BH =BG =10− x
，根据勾股定理
得到
AM =AH=4
，连接 OD，OH，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的内切圆
与内心，勾股定理，正方形的判定和性质，正确的作出
辅助线是解题的关键．
【解答】解：设
⊙O
与AC 边相切于 M，
连接 OM，OG，
∵O
内切于
△ABC
，G、H分别为切点，
∴OM ⊥AC
，
OG ⊥BC
，
∴
四边形 CGOM 是正方形，
∴CM =CG=2
，
设
AM =AH =x
，则
BH =BG=10− x
，
∴BC=10 − x +2
，
AC=x+2
，
∵A C2+B C2=A B2
，
1
∴¿
，
∴x=4
或
x=6
，
∵AC<BC
，
∴AM =AH =4
，
连接 OD，OH，
则四边形 ODEH 是正方形，
∴HE=OH =2
，
∴BE=4
，
∵∠ ACB=∠FEB=90 °
，
∠B=∠B
，
∴△BEF
∽
△BCA
，
∴BE
BC =EF
AC
，
∴4
8=EF
6
，
∴EF=3
．
2. 如图，在
△ABC
中，
AB=CB
，以 AB 为直径的
⊙O
交AC 于点
D .
过点 C作
CF /¿AB
，在 CF 上取一点 E，使
DE=CD
，连接
AE.
下列结论：
①AD=DC
；
②△CBA
∽
△CDE
；
③BD
⏜
=AD
⏜
；
④AE
为
⊙O
的切线，一定正确的结论全部
包含其中的选项是
()
A.
①②③④
B.
①②③
C.
①④
D.
①②④
【答案】D
2
【分析】
本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考
查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定．根据圆周角定理得
∠ADB=90 °
，则
BD ⊥AC
，于是根据等腰三角形的性质可判断
AD=DC
，则可对
①
进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明
∠1=∠2=∠3=∠4
，
则根据相似三角形的判定方法得到
△CBA
∽
△CDE
，于是可对
②
进行判断；由于不能
确定
∠1
等于
45 °
，则不能确定
BD
⏜
=AD
⏜
相等，则可对
③
进行判断；利用
DA=DC =DE
可判断
∠AEC=90 °
，即
CE ⊥AE
，根据平行线的性质得到
AB⊥AE
，然后根据切线的判定定理得 AE 为
⊙O
的切线，于是可对
④
进行判断．
【解答】
解：
∵AB
为直径，
∴∠ ADB=90 °
，
∴BD ⊥AC
，
而
AB=CB
，
∴AD=DC
，所以
①
正确；
∵AB=CB
，
∴∠ 1=∠2
，
而
CD=ED
，
∴∠ 3=∠4
，
∵CF /¿AB
，
∴∠ 1=∠3
，
3
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