《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题14 二次函数特优生培优训练专练（二）（解析版）

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2020 苏科版九下第五章《二次函数》中的特优生培优训
练专练（二）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 设一元二次方程
(x − 2)( x −3)− p2=0
的两实根分别为
α
、
β(α<β)
，则
α
、
β
满
足
()
A.
2<α<3≤ β
B.
且
β ≥ 3
C.
α ≤ 2<β<3
D.
α<2
且
β>3
【答案】B
【分析】
本题考查了根与系数的关系：若
x1
，
x2
是一元二次方程
a x2+bx+c=0(a ≠ 0)
的两根时，
x1+x2=−b
a
，
x1x2=c
a.
也考查了二次函数与 x轴的交点问题．
当
p=0
，易得
α=2
，
β=3
，当
p ≠ 0
，对于
(x − 2)( x −3)− p2=0
有两不等根，看作
二次函数
y=(x − 2)(x −3)
与直线
y=p2=0
有两个公共点，利用
y=(x − 2)(x −3)
与x
轴的交点坐标为
(2,0)
，
(3,0)
得到
p<2
，
β>3
．
【解答】
解：当
p=0
，
(x− 2)( x −3)=0
，解得
α=2
，
β=3
，
当
p ≠ 0
，
(x − 2)( x −3)− p2=0
，看作二次函数
y=(x − 2)(x −3)
与直线
y=p2=0
有
两个公共点，而
y=(x − 2)(x −3)
与x轴的交点坐标为
(2,0)
，
(3,0)
，直线
y=p2
在x
轴上方，所以
α<2
，
β>3
，
综上所述，
且
β ≥ 3
．
1
2. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度
ℎ¿
单位：
m¿
与小球运动时间
t¿
单位：
s¿
之间的函数关系如图
所示．下列结论：
①
小球在空中经过的路程是
40m；
②
小球抛出 3秒后，速度越来越快；
③
小球抛
出3秒时速度为 0；
④
小球的高度
ℎ=30 m
时，
t=1.5 s .
其中正确的是
()
．
A.
①④
B.
①②
C.
②③④
D.
②③
【答案】D
【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．
本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意，属于中考基础题，常
考题型．
【解答】解：
①
由图象知小球在空中达到的最大高度是 40m；故
①
错误；
②
小球抛出 3秒后，速度越来越快；故
②
正确；
③
小球抛出 3秒时达到最高点即速度为 0；故
③
正确；
④
设函数解析式为：
ℎ=a¿
，
把
O(0,0)
代入得
0=a¿
，解得
a=−40
9
，
∴
函数解析式为
ℎ=−40
9¿
，
把
ℎ=30
代入解析式得，
30=−40
9¿
，
解得：
t=4.5
或
t=1.5
，
∴
小球的高度
ℎ=30 m
时，
t=1.5 s
或
4.5 s
，故
④
错误；
2
3. 如图，以
△OAB
的顶点 O为原点，线段 OB 所在的直
线为 x轴，建立平面直角坐标系，点 B的坐标为
(2,0)
，
若抛物线
y=1
2x2+k
与
△OAB
的边界总有两个公共点，
则实数 k的取值范围是
()
A.
−2≤ k ≤ 1
2
B.
−2<k<
√
2−1
C.
−2<k<1
2
D.
−2≤ k ≤
√
2−1
【答案】C
【分析】
本题主要考查了根的判别式函数、二次函数图象与系数的关系、二次函数与一元二次
方程的知识点，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有
一个交点时的最大值与最小值是解题的关键．
根据
∠AOB=45°
求出直线 OA 的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共
点时的 k值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点 B时的 k的值，即为一
个交点时的最小值，然后写出 k的取值范围即可．
【解答】
解：由图可知，
∠AOB=45°
，
∴
直线 OA 的解析式为
y=x
，联立方程得：
{
y=x
y=1
2x2+k,
消掉 y得，
x2−2x+2k=0
，
△=b2−4ac =¿
，
即
k=1
2
时，抛物线与 OA 有一个交点，
此交点的横坐标为 1，
∵
点B的坐标为
(2,0)
，
∴OA =2
，
∴
点A的坐标为
(
√
2,
√
2)
，
3
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