《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题13 特优生培优训练专练（一）（解析版）

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2020 苏科版九下第五章《二次函数》中的特优生培优训
练专练（一）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. “如果二次函数
y=a x2+bx +c
的图象与 x轴有两个公共点，那么一元二次方程
a x2+bx+c=0
有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问
题：若 m、
n(m<n)
是关于 x的方程
1−(x − a)(x −b)=0
的两根，且
a<b
，则
a、b、m、n的大小关系是
()
A.
m<a<b<n
B.
C.
a<m<b<n
D.
m<a<n<b
【答案】A
【分析】由 m、
n(m<n)
是关于 x的方程
1−(x − a)(x −b)=0
的两根可得出二次函数
y=(x − a)(x − b)−1
的图象与 x轴交于点
(m , 0)
、
(n , 0)
，将
y=(x − a)(x − b)−1
的
图象往上平移一个单位可得二次函数
y=(x − a)(x − b)
的图象，画出两函数图象，观
察函数图象即可得出 a、b、m、n的大小关系．
本题考查了抛物线与 x轴的交点，画出两函数图象，利用数形结合解决问题是解题的
关键．
【解答】解：
∵m
、
n(m<n)
是关于 x的方程
1−(x − a)(x −b)=0
的两根，
∴
二次函数
y=(x − a)(x − b)−1
的图象与 x轴交于点
(m , 0)
、
(n , 0)
，
∴
将
y=(x − a)(x − b)−1
的图象往上平移一个单位可得二次函数
y=(x − a)(x − b)
的
图象，
二次函数
y=(x − a)(x − b)
的图象与 x轴交于点
(a , 0)
、
(b , 0)
．
画出两函数图象，观察函数图象可知：
m<a<b<n
．
1
2. 如图，抛物线
y=−1
2x2+3
2x
+2
与x轴交于 A，B两点，与 y轴交于点
C .
若点 P
是线段 BC 上方的抛物线上一动点，当
△BCP
的面积取得最大值时，点 P的坐标
是
()
A.
(2,3)
B.
(3
2,25
8)
C.
(1,3)
D.
(3,2)
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质、抛物线与 x轴交点，解题的关键是构建二次函数，
利用二次函数性质解决问题，属于中考常考题型
.
连接 PC、PO、PB，BC，设点 P坐标
(m ,− 1
2m2+3
2m+2)
，根据
S△PBC=S△PCO+S△POB − S△OCB
构建二次函数，利用函数
性质即可解决问题．
【解答】
解：连接 PC、PO、PB，设点 P坐标
(m ,− 1
2m2+3
2m+2)
，
2
令
x=0
，则
y=2
，点 C坐标
(0,2)
，
令
y=0
，则
−1
2x2+3
2x+2=0
，解得
x=−1
或
x=4
，
∴
点A坐标
(−1,0)
，点 B坐标
(4,0)
，
∴S△PBC=S△PCO+S△POB − S△BOC =1
2×2×m+1
2×4×(−1
2m2+3
2m+2)−1
2×2×4=m− m2+3m+4−4=−¿
∴m=2
时，
△PBC
面积最大值为 4，
∴−1
2m2+3
2m+2=3
此时点 P坐标
(2,3)
．
3. 如图，一段抛物线：
y=− x (x −5)(0≤ x ≤ 5)
，记为
C1
，它与 x轴交于点 O，
A1
；将
C1
绕点
A1
旋转
180 °
得
C2
，交 x轴于点
A2
；将
C2
绕点
A2
旋转
180 °
得
C3
，交 x
轴于点
A3
；
…
如此进行下去，得到一“波浪线”，若点
P(2018 , m)
在此“波浪
线”上，则 m的值为
¿
¿
3
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