《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题12 相似三角形中的动直线问题专练（解析版）

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专题 12 相似三角形中的动直线问题专练
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、解答题
1. 如图，已知 A、B两点的坐标分别为
(4,0)
和
(0,3)
，动点 P从点 A出发，以每秒 2
个长度单位的速度沿 AO 向点 O运动，在点 P出发的同时，动直线 EF 从x轴出发，
以每秒 1个长度单位向上平移
¿
即
EF /¿x
轴
¿
，分别与 y轴、线段 AB 交于点
E、F，连接 EP、
FP .
设运动时间为
t s(0<t ≤ 2)
．
(1)
在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使得
与
△AOB
相似？若存在，
请求出所有符合题意的 t的值；若不存在，请说明理由；
(2)
若
△PEF
是等腰三角形，求 t的值．
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质、勾股定理、
解一元一次方程和一元二次方程等知识点，要注意第一问中，要分对应角的不同来得
出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．第二问中等腰三角形每两边相等，
共三种情况，不要忽略掉任何一种情况．
(1)
如果
与
△BOA
相似，由于
∠EOP=∠BOA=90 °
，则只能点 O与点 O对
应，然后分两种情况分别讨论：
①
点P与点 A对应；
②
点P与点 B对应；
(2)
分三种情况，
①
当
PE=PF
时，作
PG ⊥EF
于G，则
EG=FG
，先根据三角形相
似用 t表示 EG、OP，根据
EG=OP
，列方程解得；
②
当
EF=EP
时，利用
E F2=E P2
，在直角
△OEP
中，应用勾股定理列出方程解得；
③
当
EF=PF
时，作
1
FH ⊥OA
，则
FH =OE=t
，根据三角形相似用 t表示 PH，在直角
△PHF
中，应用
勾股定理列出方程解得，最后综合可得结论．
【解答】解：
(1)
当
∽
△BOA
时，
则有
OP
OB=OE
OA
，
4−2t
3=t
4
，
解之得：
t=16
11
，
当
∽
△AOB
时，
4−2t
4=t
3
，
解之得：
t=6
5
，
综上，当
t=16
11
或
6
5
时，
与
△AOB
相似．
(2)
当
PE=PF
时，作
PG ⊥EF
于G，则
EG=FG
，
∵EF /¿x
轴，
∴△BEF
∽
△BOA
，
∴EF
4=3−t
3
，
EF=4
3(3−t )
，
∴EG=2
3(3−t )
，
由
EG=OP
得，
2
3(3− t)=4−2t
，
解之得：
t=3
2
；
当
EF=EP
时，则
E F2=E P2
，
可列方程：
[
4
3(3−t )
]
2
=t2+(4−2t)2
，
整理得：
29 t2−48 t=0
，
解之得：
t=48
29
；
2
当
EF=PF
时，作
FH ⊥OA
，则
FH =OE=t
，
∵△AFH
∽
△ABO
，
∴AH
4=t
3
，
AH=4
3t
，
∴PH =2t − 4
3t=2
3t
，
由
E F2=P F2
得：
[
4
3(3−t )
]
2
=t2+( 2
3t)
2
，
解之得：
t1=16 −4
√
13
，
t2=16+4
√
13¿
舍去
¿
，
综上，
t=3
2
或
48
29
或
16 −4
√
13
．
2. 如图，已知 A、B两点的坐标分别为
(40,0)
，
(0,30)
，动点 P从点 A开始在线段
AO 上以每秒 2个长度单位的速度向原点 O运动，动直线 EF 从x轴开始以每秒 1
个单位长度的速度向上平行移动
¿
即
EF /¿x
轴
¿
，并且分别与 y轴、线段 AB 交于
点E、F，连接 EP、FP，设动点 P与动直线 EF 同时出发，运动时间为 t秒．
(1)
求
t=15
时，
△PEF
的面积；
(2)
当t为何值时，
△EOP
与
△BOA
相似．
3
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