《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题12 二次函数中三角形问题培优训练（二）（解析版）

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2020 苏科版九下第五章《二次函数》中的三角形问题培
优训练（二）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、解答题
1. 如图，二次函数
y=a x2+bx +c(a≠ 0)
的图象交 x轴于 A、B两点，交 y轴于点
D，点 B的坐标为
(3,0)
，顶点 C的坐标为
(1,4)
．
(1)
求二次函数的解析式和直线 BD 的解析式；
(2)
点P是直线 BD 上的一个动点，过点 P作x轴的垂线，交抛物线于点 M，当点
P在第一象限时，求线段 PM 长度的最大值；
(3)
在抛物线上是否存在异于 B、D的点 Q，使
△BDQ
中BD 边上的高为
？若
存在求出点 Q的坐标；若不存在请说明理由．
【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角
三角形的性质及方程思想等知识．在
(1)
中主要是待定系数法的考查，注意抛物线顶点
式的应用，在
(2)
中用 P点坐标表示出 PM 的长是解题的关键，在
(3)
中构造等腰直角
三角形求得 QG 的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
(1)
可设抛物线解析式为顶点式，由 B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得 D点坐
标，利用待定系数法可求得直线 BD 解析式；
(2)
设出 P点坐标，从而可表示出 PM 的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；
1
(3)
过Q作
QG /¿y
轴，交 BD 于点 G，过 Q和
QH ⊥BD
于H，可设出 Q点坐标，表示
出QG 的长度，由条件可证得
△DHG
为等腰直角三角形，则可得到关于 Q点坐标的方
程，可求得 Q点坐标．
【解答】解：
(1)∵
抛物线的顶点 C的坐标为
(1,4)
，
∴
可设抛物线解析式为
y=a¿
，
∵
点
B(3,0)
在该抛物线的图象上，
∴0=a¿
，解得
a=−1
，
∴
抛物线解析式为
y=−¿
，即
y=− x2+2x+3
，
∵
点D在y轴上，令
x=0
可得
y=3
，
∴D
点坐标为
(0,3)
，
∴
可设直线 BD 解析式为
y=kx+3
，
把B点坐标代入可得
3k+3=0
，解得
k=−1
，
∴
直线 BD 解析式为
y=− x+3
；
(2)
设P点横坐标为
m(m>0)
，则
P(m , −m+3)
，
M(m ,− m2+2m+3)
，
∴PM =− m2+2m+3−(−m+3)=− m2+3m=−¿
，
∴
当
m=3
2
时，PM 有最大值
9
4
；
(3)
如图，过 Q作
QG /¿y
轴交 BD 于点 G，交 x轴于点 E，作
QH ⊥BD
于H，
设
Q(x ,− x2+2x+3)
，则
G(x ,− x+3)
，
2
∴QG=¿− x2+2x+3−(− x+3)∨¿∨− x2+3x∨¿
，
∵△BOD
是等腰直角三角形，
∴∠ DBO=45 °
，
∴∠ HGQ=∠BGE=45 °
，
当
△BDQ
中BD 边上的高为
2
√
2
时，即
QH =HG=2
√
2
，
∴QG=
√
2×2
√
2=4
，
∴∨− x2+3x∨¿4
，
当
− x2+3x=4
时，
△=9−16<0
，方程无实数根，
当
− x2+3x=−4
时，解得
x=−1
或
x=4
，
∴Q(−1,0)
或
(4, −5)
，
综上可知存在满足条件的点 Q，其坐标为
(−1,0)
或
(4, −5)
．
2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数
y=a x2+bx +c
交x轴于点
A(−4,0)
、
B(2,0)
，交 y轴于点
C(0,6)
，在 y轴上有一点
E(0,− 2)
，连接 AE．
(1)
求二次函数的表达式；
(2)
若点 D为抛物线在 x轴负半轴上方的一个动点，求
△ADE
面积的最大值；
(3)
抛物线对称轴上是否存在点 P，使
△AEP
为等腰三角形？若存在，请直接写出
所有 P点的坐标，若不存在请说明理由．
【分析】
(1)
把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；
(2)
根据函数解析式设出点 D坐标，过点 D作
DG ⊥x
轴于 G，交 AE 于点 F，表示
△ADE
的面积，运用二次函数分析最值即可；
(3)
设出点 P坐标，分
PA=PE
，
PA=AE
，
PE=AE
三种情况讨论分析即可．
3
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