《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题11 相似三角形中的动点问题专练（二）（解析版）

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专题 11 相似三角形中的动点问题专练（二）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，P是BC 边上一动点
¿
与B，C不重合
¿
连接
AP，作
PE ⊥AP
交
∠BCD
的外角平分线于 E，设
BP=x
，
△PCE
的面积为 y，
则y与x的函数关系式是
¿

A.
y=− x2+4x
B.
y=1
2x −2x2
C.
y=−1
2x2+2x
D.
y=x2−4x
【答案】C
【分析】
本题考查了正方形性质，根据实际问题列二次函数关系式，角平分线定义，相似三角
形的性质和判定的应用，过 E作
EH ⊥BC
于H，求出
EH=CH
，求出
△BAP
∽
△HPE
，得出
AB
PH =BP
HE
，求出
EH =x
，代入
y=1
2× CP× EH
求出即可．
【解答】
解：如图，过 E作
EH ⊥BC
于H，
∵
四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ DCH =90 °
，
∵CE
平分
∠DCH
，
1
∴∠ ECH =1
2∠DCH =45 °
，
∵∠ H=90°
，
∴∠ ECH =∠CEH =45°
，
∴EH =CH
，
∵
四边形 ABCD 是正方形，
AP⊥EP
，
∴∠ B=∠H=∠APE =90 °
，
∴∠ BAP+∠APB =90 °
，
∠APB+∠EPH =90°
，
∴∠ BAP=∠EPH
，
∵∠ B=∠H=90°
，
∴△BAP
∽
△HPE
，
∴AB
PH =BP
HE
，
∴4
4− x +HE =x
HE
，
∴EH =x
，
∴y=1
2×CP × EH =1
2(4− x )⋅x
，
∴y=−1
2x2+2x
．
2. 如图，
△ABC
中，点 D是AB 的中点，点 E是AC 边上
的动点，若
△ADE
与
△ABC
相似，则下列结论不成立
的是
()
A.点E为AC 中点
B.DE 是中位线或
AD⋅AC=AE ⋅AB
C.
∠ADE=∠C
D.
DE/¿BC
或
∠BDE +∠C=180 °
2
【答案】D
【分析】根据相似三角形的性质得到
AD
AB =AE
AC
或
AD
AC =AE
AB
，证得
DE /¿BC
，
∠ADE=∠C
，故 C正确；求出点 E是AC 边上的中点，故 A正确；得到 DE 是中位
线或
AD ⋅AC=AE ⋅AB
，故 B正确；根据平行线的性质得到
DE /¿BC
或
∠BDE +∠B=180°
，故 D错误．
此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思
想的应用．
【解答】解：
∵△ADE
与
△ABC
相似，
∴AD
AB =AE
AC
或
AD
AC =AE
AB
，
∴DE/¿BC
，
∠ADE=∠C
，故 C正确；
∵
点D是AB 的中点，
∴
点E是AC 边上的中点，故 A正确；
∴DE
是中位线或
AD⋅AC=AE ⋅AB
，故 B正确；
DE /¿BC
或
∠BDE +∠B=180°
，故 D错误；
3. 如图，在正方形 ABCD 中，如果 E为CD 边的中点，P是
BC 边上的一动点，那么下列条件中，能推出
△ABP
与
△ECP
相似的是
()
A.BP：
BC=1
：3B.BP：
BC=1
：2
C.BP：
BC=2
：3D.BP：
BC=3
：4
【答案】C
【分析】若要证
△ABP
∽
△ECP
，只需证出
AB
EC =BP
CP
，由点 E为CD 边的中点结合
正方形的性质可得出
BP=2CP
，进而即可得出 BP 与BC 直接的比例关系，此题得解．
本题考查了相似三角形的判定与正方形的性质，牢记“两组对应边的比相等且夹角对
应相等的两个三角形相似”是解题的关键．
【解答】解：若证
△ABP
∽
△ECP
，只需证出
AB
EC =BP
CP
，
∵E
为CD 边的中点，四边形 ABCD 为正方形，
3
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