《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题10 相似三角形中的动点问题专练（一）（解析版）

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专题 10 相似三角形中的动点问题专练（一）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 如图，圆 O的直径 6，在圆 O上位于直径 AB 的异
侧有定点 C和动点 P，已知
BC :CA=4 : 3
，P在
半圆上运动，CD 垂直于 CP 交PB 的延长线于 D
点，当点 P运动到什么位置时，
△PCD
的面积最
大为
()
A. 36 B. 24 C. 18 D. 12
【答案】B
【分析】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理及其推论，以及正切的概念
.
利
用三角形的面积公式，以及相似三角形的对应边成比例求解．
【解答】
解：当点 P在弧 AB 上运动时，
SΔPCD=1
2PC·CD
．
∵AB
为直径，
∴∠ ACB=90 °
．
又
，
∴∠ PCD=90 °
，
而
∠CAB=∠CPD
，
∴△ABC
∽
△PDC
．
∴PC
CD =AC
CB =3
4
，
∴SΔPCD =1
2PC·CD=1
2×4
3PC × PC=2
3PC2
，
1
故PC 最大时，
S△PCD
取得最大值；
而PC 为直径时最大，
∴S△PCD
的最大值
S=2
3×62=24
．
2. 如图，直线
y=3
4x+6
与x轴、y轴交于 A、B两点，点 C在第四象限，
BC ⊥AB
，
且
BC=AB
，D是BC 的中点，过 D作AC 的垂线 EF，交 AC 于E，交直线 AB 于
F，点 P为射线 AD 上一动点，则
P F2− P C2
的值
¿
¿
A. 等于 20 B. 等于 25
C. 随点 P位置的变化而变化 D. 等于 24
【答案】B
【分析】略
3. 如图，在等边
△ABC
中，
BC=12
，D、E是BC 边上的两点，且
BD=CE=2
，
点M，N，P分别是线段 AB，AC，DE 上的一动点，连接 MN、AP，MN 与AP 交
于点 G，若四边形 AMPN 是平行四边形，则点 P由点 D移动到点 E的过程中，下
2
列结论正确的是
()
①MG=NG
；
②△NPC
∽
△ABC
；
③
当P运动到 BC 中点时，四边形 AMPN
是菱形，且菱形面积为
18
√
3
；
④
点P由点 D移动到点 E的过程中，点 G所走的
路径长为 4．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【分析】
此题主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，菱形的判定与性质及三角形的
中位线定理，根据平行四边形的性质，相似三角形的判定，菱形的判定与性质及三角
形的中位线定理进行逐个判定，得到结论
【解答】
解：
∵
四边形 AMPN 是平行四边形，
∴MG=NG .
故
①
正确；
∵PN /¿AB
，
∴∠ NPC=∠ABC
，
又
∵∠ PCN =∠BCA
，
∴△NPC
∽
△ABC .
故
②
正确；
如图 1，当 P运动到 BC 中点时，
PN=1
2AB
，
PM =1
2AC
，
∵AB=AC
，
∴PN =PM .∴
平行四边形 AMPN 是菱形．
SAMPN菱形 =1
2⋅MN ⋅AP=1
2×6×6
√
3=18
√
3.
故
③
正确；
如图 2，点 P由点 D移动到点 E的过程中，
DE=BC − BD − CE=12−2−2=8
，
在
△ADE
中，
G1
是AD 的中点，
G2
是AE 的中点，
∴
点G运动的路径长为
G1G2
．
3
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