《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题10 二次函数中取值范围专题（二）（解析版）

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专题 10 二次函数中的取值范围专题（二）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 已知函数
y=x2+x − 1
在
m ≤ x ≤1
上的最大值是 1，最小值是
−5
4
，则 m的取值范
围是
()
A. m
≥ −2
B.
0≤ m≤ 1
2
C.
−2≤ m≤ − 1
2
D.
【答案】C
【分析】
本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关
键．
先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是
−5
4
，得出
m ≤− 1
2;
再求得当
x=1
时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，
根据二次函数的对称性可得 m的范围．
【解答】
解：
∵
函数
y=x2+x − 1
的对称轴为直线
x=−1
2
，
∴
当
x=−1
2
时，y有最小值，此时
y=1
4−1
2−1=−5
4
，
∵
函数
y=x2+x − 1
在
m ≤ x ≤1
上的最小值是
−5
4
，
∴m≤ − 1
2;
∵
当
x=1
时，
y=1+1−1=1
，对称轴为直线
x=−1
2
，
∴
当
x=−1
2−[1−(−1
2)]=−2
时，
y=1
，
∵
函数
y=x2+x − 1
在
m ≤ x ≤1
上的最大值是 1，且
m ≤− 1
2;
1
∴−2≤ m ≤− 1
2
．
2. 已知抛物线
y=a x2+4x+c(a ≠ 0)
与直线
y=x
只有一个交点且横坐标为
3
2
，当
0≤ x ≤ m
时，函数
y=a x2+4x+c − 3
4(a ≠ 0)
的最小值为
−3
，最大值为 1，则 m
的取值范围是
()
A.
−1≤m≤0
B.
2≤m<7
2
C.
2≤m ≤ 4
D.
9
4<m ≤ 7
2
【答案】C
【分析】
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以
及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．
根据和谐点的概念令
a x2+4x+c=x
，即
a x2+3x+c=0
，由题意，
△=32−4ac=0
，
即
4ac=9
，方程的根为
−3
2a=3
2
，从而求得
a=−1
，
c=−9
4
，所以函数
y=a x2+4x+c − 3
4=− x2+4x −3
，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐
标，根据 y的取值，即可确定 x的取值范围．
【解答】
解：令
a x2+4x+c=x
，即
a x2+3x+c=0
，
由题意，
△=32−4ac=0
，即
4ac=9
，
又方程的根为
−3
2a=3
2
，
解得
a=−1
，
c=−9
4
，
故函数
y=a x2+4x+c − 3
4=− x2+4x −3
，
如图，该函数图象顶点为
(2,1)
，与 y轴交点为
(0, −3)
，由对称性，该函数图象也经过
点
(4, −3)
．
2
由于函数图象在对称轴
x=2
左侧 y随x的增大而增大，在对称轴右侧 y随x的增大而减
小，且当
0≤ x ≤ m
时，函数
y=− x2+4x − 3
的最小值为
−3
，最大值为 1，
∴2≤m≤4
，
3. 已知二次函数
y=− x2+2x+3
，截取该函数图象在
0≤ x ≤ 4
间的部分记为图象 G，
设经过点
(0, t)
且平行于 x轴的直线为 l，将图象 G在直线 l下方的部分沿直线 l翻
折，图象 G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象 M，若函数 M的最大
值与最小值的差不大于 5，则 t的取值范围是
()
A.
−1≤t≤0
B.
−1≤ t ≤− 1
2
C.
−1
2≤ t ≤ 0
D.
t ≤ −1
或
t ≥ 0
【答案】A
【分析】
本题主要考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函
数的最值等有关知识，找到最大值和最小值差刚好等于 5的时刻，则 t的范围可知．
【解答】
解：如图 1所示，当 t等于 0时，
∵y=−¿
，
∴
顶点坐标为
(1,4)
，
当
x=0
时，
y=3
，
∴A(0,3)
，
3
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