《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题09 相似三角形中的定点问题专练（解析版）

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专题 09 相似三角形中的定点问题专练
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、解答题
1. 如图，在锐角
△ABC
中，
AB=6
，
BC=5
，现有一点 D，满足
∠BDC=∠BAC
，且
DB=CB
．
(1)
请用尺规作图的方法确定点 D的位置
¿
保留作图痕迹，不需写作法
(2)
连接 CD 交AB 于点 E，找出图中与
△BCE
相似的三角形，并求出 BE 的长．
【分析】本题考查圆周角定理的应用，同时也相似三角形的判定和性质，尺规作图，
等腰三角形的性质，三角形外接圆等知识．
(1)
由
∠BDC=∠BAC
得点 A与点 D都在以 BC 为弦的同一圆上，所以先作出
△ABC
的外接圆
⊙O
，然后以 B为圆心，BC 为半径画弧交
⊙O
于点 D，则点 D为所
求；
(2)
由
DB=CB
得
DB
⏜
=CB
⏜
，根据圆周角定理可得
∠BCE=∠BAC
，而
∠ABC=∠CBE
，因此
△BCE
∽
△BAC
，再利用相似三角形的对应边成比例即可解
答．
【解答】解：
(1)
如图：点 D即为所求；
1
(2)
如上图：
∵DB=CB
，
∴DB
⏜
=CB
⏜
，
∴∠ D=∠BCD
，
∵∠ BDC=∠BAC
，
∴∠ A=∠BCD
，
∵∠ CBE=∠CBE
，
∴△BCE
∽
△BAC
，
∴BC
BE =BA
BC
，
∵AB=6
，
BC=5
，
∴5
BE =6
5
∴BE=25
6
．
2. 如图 1所示，在图中作出两条直线，就能使它们将圆面四等分．研究图 1中的思
想方法解决以下问题：
(1)
如图 2，M是正方形 ABCD 内一定点，请在图 2中作出两条直线
¿
要求其中一条
直线必须过点
M¿
，使它们将正方形 ABCD 的面积四等分，不必说明理由；
(2)
如图 3，在四边形 ABCD 中，
AB/¿CD
，
AB+CD=BC
，点 P是AD 的中点．
如果
AB=a
，
CD=b
，且
b>a
，那么在边 BC 上是否存在一点 Q，使 PQ 所在直线
将四边形 ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在，求出 BQ 的长；若不存在，
说明理由．
2
【分析】
(1)
通过对图
(1)
的分析，根据中心对称图形性质，连接正方形对角线
AB、CD，相较于点 O，连接 OM 交正方形边于点 E、F，过点 O做EF 的垂线，交正方
形边于点 G、H，则直线 EF、GH 即为所求．
(2)
存在，当
BQ=CD=b
时，PQ 将四边形 ABCD 的面积二等分．利用全等三角形
△ABP
≌
△DEP
性质，证明
S△BPC=S△EPC
，利用面积分析，即可得出
BQ=b
．
题目考查了圆及其它图形二等分面积，通过对图形性质的分析，考察学生的观察能力、
分析能力和解决问题的能力，题目整体较难，对学生整体能力要求较高．
【解答】解：
(1)
通过对图
(1)
的分析，得出以下结论，
过中心对称图形的对称中心任何一条直线可以平分图形面积．
如下图：连接正方形对角线 AB、CD，相较于点 O，
连接 OM 交正方形边于点 E、F，
过点 O做EF 的垂线，交正方形边于点 G、H，
则直线 EF、GH 即为所求．
(2)
存在，当
BQ=CD=b
时，PQ 将四边形 ABCD 的面积二等分．
如下图，连接 BP 并延长交 CD 的延长线于点 E，
3
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