《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题09 第七章《锐角三角函数》中的三角形问题培优训练（解析版）

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专题 09 2020 第七章《锐角三角函数》中的三角形问题培
优训练
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、解答题
1.
(1)
【问题发现】如图 1，
△ABC
和
△CEF
都是等腰直角三角形，
∠BAC =∠EFC =90 °
，点 E与点 A重合，则线段 BE 与AF 的数量关系为_____
_；
(2)
【拓展研究】在
(1)
的条件下，将
△CEF
绕点 C旋转，连接 BE，AF，线段 BE
与AF 的数量关系有无变化？仅就图 2的情形给出证明；
【问题发现】当
AB=AC=2
，
△CEF
旋转到 B、E、F三点共线时候，直接
写出线段 AF 的长
¿
．
【答案】
(1)BE=
√
2AF
；
(2)BE=
√
2AF
，理由如下：
如图 2中，
在
Rt △ABC
中，
AB=AC
，
1
∴∠ ABC=∠ACB=45 °
，
∴sin∠ABC=CA
CB =
√
2
2
，
在
Rt △EFC
中，
∠FEC=∠FCE=45 °
，
∠EFC=90 °
，
∴sin∠FEC=CF
CE =
√
2
2
，
∴CA
CB =CF
CE
，
又
∵∠ FEC=∠ACB=45 °
，
∴∠ FEC −∠ACE=∠ACB −∠ACE
，
即
∠FCA=∠ECB
，
∴△ACF
∽
△BCE
，
∴BE
AF =BC
AC =
√
2
2
，
∴BE=
√
2AF
；
(3)
√
3−1
或
√
3+1
．
【解析】
(1)
由
△AFC
为等腰直角三角形，进而得出
AC=
√
2AF
，即可得出结论；
(2)
先利用三角函数得出
CA
CB =
√
2
2
，同理得出
CF
CE =
√
2
2
，夹角相等即可得出
△ACF
∽
△BCE
，进而得出结论；
(3)
分两种情况计算，当点 E在线段 BF 上时，如图 2，先利用勾股定理求出
EF=CF
√
2
，
BF=
√
2
，即可得出
BE=
√
6−
√
2
，借助
(2)
得出的结论，当点 E在线段
BF 的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的
性质，相似三角形的判定和性质，解
(2)(3)
的关键是判断出
△ACF
∽
△BCE.
第三问
要分情况讨论．
【解答】解：
(1)BE=
√
2AF
，理由如下：
如图 1中，
2
∵△AFC
是等腰直角三角形，
∴AC=
√
2AF
，
∵AB=AC
，
∴BE=AB=
√
2AF
，
故答案为：
BE=
√
2AF
；
(2)
见答案；
(3)
当点 E在线段 AF 上时，如图 2，
由
(1)
知，
CF=EF=
√
2
，
在
Rt △BCF
中，
CF=
√
2
，
BC=2
√
2
，
根据勾股定理得，
BF=
√
6
，
∴BE=BF − EF=
√
6−
√
2
，
由
(2)
知，
BE=
√
2AF
，
∴AF=
√
3−1
，
当点 E在线段 BF 的延长线上时，如图 3，
在
Rt △ABC
中，
AB=AC=2
，
∴∠ ABC=∠ACB=45 °
，
∴sin∠ABC=CA
CB =
√
2
2
，
3
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