《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题08 相似三角形中的定值问题专练（二）（解析版）

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专题 08 相似三角形中的定值问题专练（二）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、解答题
1. 如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E为OC 上动点
¿
与点 O
不重合
¿
，作
AF ⊥BE
，垂足为 G，交 BC 于F，交 BO 于H，连接 OG，CC．
(1)
求证：
AH=BE
；
(2)
试探究：
∠AGO
的度数是否为定值
请说明理由；
(3)
若
OG ⊥CG
，
BG=
√
5
，求
△OGC
的面积．
【分析】本题考查四边形综合题，正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三
角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，
属于中考压轴题．
(1)
只要证明
△AOH
≌
△BOE
即可；
(2)
想办法证明
△OHG
∽
△AHB
，可得
∠AGO=∠ABO=45 °
．
(3)
由
△ABG
∽
△BFG
，推出
AG
BG =BG
GF
，可得
AG⋅GF=BG
❑2=5
，由
△AGO
∽
△CGF
，推出
GO
GF =AG
CG
，可得
GO ⋅CG=AG ⋅GF=5.
由此即可解决问题；
【解答】解：
(1)∵
四边形 ABCD 是正方形，
1
∴OA=OB
，
∠AOB=∠BOE=90 °
，
∵AF ⊥BE
，
∴∠ GAE+∠AEG=∠OBE+∠AEG=90 °
．
∴∠ GAE=∠OBE
，
∴△AOH
≌
△BOE
，
∴AH =BE
．
(2)∵ ∠ AOH =∠BGH=90 °
，
∠AHO=∠BHG
，
∴△AOH
∽
△BGH
，
∴OH
GH =AH
BH
，
∴OH
AH =GH
BH
，
∵∠ OHG=∠AHB
，
∴△OHG
∽
△AHB
，
∴∠ AGO=∠ABO=45 °
，即
∠AGO
的度数为定值．
2
(3)∵ ∠ ABC =90 °
，
AF ⊥BE
，
∴∠ BAG=∠FBG
，
∠AGB=∠BGF =90 °
，
∴△ABG
∽
△BFG
，
∴AG
BG =BG
GF
，
∴AG ⋅GF=BG
❑2=5
，
∵△AHB
∽
△OHG
，
∴∠ BAH =∠GOH =∠GBF
．
∵∠ AOB=∠BGF=90 °
，
∴∠ AOG=∠GFC
，
∵∠ AGO=45 °
，
CG ⊥GO
，
∴∠ AGO=∠FGC=45 °
．
∴△AGO
∽
△CGF
，
∴GO
GF =AG
CG
，
∴GO ⋅CG=AG ⋅GF=5
．
∴S△OGC=1
2CG ⋅GO=5
2
．
3
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