《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题08 二次函数中平行四边形问题培优训练（二）（解析版）

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专题 08 二次函数中的平行四边形问题培优训练（二）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、解答题
1. 如图，二次函数
y=x2+bx +c(a ≠ 0)
的图象与 x轴交于 A，
B(1,0)
两点，与 y轴交
于点
C(0, −3)
．
(1)
求二次函数的解析式及点 A的坐标；
(2)D
是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点 D到直线 AC 的距离取得最大
值时点 D的坐标；
(3)M
是二次函数图象的对称轴上的点，在该二次函数图象上是否存在点 N，使以
M，N，B，O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 N的坐标；
若不存在，请说明理由．
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值，
解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
(1)
利用待定系数法解决问题即可；
如图 1中连接 AD，
CD .
由题意点 D到直线 AC 的距离取得最大，推出此时
△DAC
的面积最大．过点 D作x轴的垂线交 AC 于点 G，设点 D的坐标为
(x , x2+2x −3)
，则
G(x ,− x −3)
，推出
DG=− x −3−(x2+2x − 3)=−x−3− x2−2x+3=− x2−3x
，
利用二次函数的性质求解即可；
(3)
分两种情形：OB 是平行四边形的边或对角线分别求解即可．
【解答】解：
(1)
把
B(1,0)
，
C(0, −3)
代入
y=x2+bx +c
1
则有
{
c=−3
1+b+c=0
，
解得
{
b=2
c=−3
∴
二次函数的解析式为
y=x2+2x −3
，
令
y=0
，得到
x2+2x −3=0
，解得
x=−3
或1，
∴A(−3,0)
；
如图 1中连接 AD，CD．
∵
点D到直线 AC 的距离取得最大，
∴
此时
△DAC
的面积最大
设直线 AC 解析式为：
y=kx+b
，
∵A(−3,0)
，
C(0, −3)
，
∴
{
b=−3
−3k+b=0
，
解得，
{
k=−1
b=−3
，
∴
直线 AC 的解析式为
y=− x − 3
，
过点 D作x轴的垂线交 AC 于点 G，设点 D的坐标为
(x , x2+2x −3)
，
则
G(x ,− x −3)
，
∵
点D在第三象限，
∴DG=− x −3−(x2+2x −3)=− x − 3− x2−2x+3=− x2−3x
，
∴S△ACD=1
2⋅DG ⋅OA=1
2(− x2−3x)×3=−3
2x2−9
2=−3
2¿
，
∴
当
x=−3
2
时，
S最大=27
8
，点
D(−3
2,− 15
4)
，
∴
点D到直线 AC 的距离取得最大时，
D(−3
2,− 15
4)
；
(3)
如图 2中，当 OB 是平行四边形的边时，
2
OB=MN =1
，
OB /¿MN
，可得
N(−2,− 3)
或
N '(0,− 3)
，
当OB 为对角线时，点
N ″
的横坐标为 2，
x=2
时，
y=4+4−3=5
，
∴N ″ (2,5)
．
综上所述，满足条件的点 N的坐标为
(−2, −3)
或
(0, −3)
或
(2,5)
．
2. 如图，抛物线
y=x2−2x −3
与x轴交 A，B两点
¿
点在 B点左侧
¿
，直线 l与抛物
线交于 A，C两点，其中 C点的横坐标为 2，
(1)
求A，B两点的坐标及直线 AC 的函数表达式。
(2)P
是线段 AC 上的一个动点
¿
不与点 A，C重合
¿
，过点 P作y轴的平行线交抛物
线于 E点，求线段 PE 长度的最大值。
(3)
点G抛物线上的动点，在 x轴上是否存在点 F，使 A，C，F，G这样的四个点
为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的 F点坐标；
如果不存在，请说明理由．
【分析】本题着重考查了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函
数的性质等重要知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
(1)
因为抛物线与 x轴相交，所以可令
y=0
，解出 A、B的坐标．再根据 C点在抛物线
上，C点的横坐标为 2，代入抛物线中即可得出 C点的坐标．再根据两点式方程即可解
出AC 的函数表达式；
根据 P点在 AC 上可设出 P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为 PE
都在垂直于 x轴的直线上，所以两点之间的距离为
yp− y E
，列出方程后结合二次函数
的性质即可得出答案；
(3)
存在四个这样的点．
3
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