《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题08 第七章《锐角三角函数》中的平行四边形问题培优训练（解析版）

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专题 08 2020 第七章《锐角三角函数》中的平行四边形问
题培优训练
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、解答题
1. 在矩形 ABCD 中，
AB=8
，点 H是直线 AB 边上的一个点，连接 DH 交直线 CB 的
干点 E，交直线 AC 于点 F，连接 BF．
(1)
如图
①
，点 H在AB 边上，若四边形 ABCD 是正方形，求证：
△ADF
≌
△ABF
；
(2)
在
(1)
的条件下，若
为等腰三角形，求 HF 的长；
(3)
如图
②
，若
tan ∠ADH =4
3
，是否存在点 H，使得
△BHF
为等腰三角形？若
存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．
【解析】
(1)
根据 SAS 证明三角形全等即可．
(2)
想办法证明
∠ADH =30 °
，求出 AH 即可解决问题．
(3)
如图
②
中，可以假设
AH=4k
，
AD=3k
，
DH =5k
，因为
△BHF
是等腰三角形，
∠BHF
是钝角，推出
HF =BH
，设
BH =HF=x
，构建方程组解决问题即可．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角
形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问
题，属于中考压轴题．
1
【答案】
(1)
证明：如图
①
中，
∵
四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD
，
∠FAB=∠FAD=45 °
，
∵AF=AF
，
∴△ADF
≌
△ABF(SAS)
．
(2)
解：如图
①
中，
∵∠ BHF>∠HAD
，
∴∠ BHF
是钝角，
∵△BHF
是等腰三角形，
∴BH =FH
，
∴∠ HBF=∠BFH
，
∵△ADF
≌
△ABF
，
∴∠ ADF=∠ABF
，
∵∠ AHD=∠HBF +∠BFH
，
∴∠ AHD=2∠ADH
，
∵∠ AHD+∠ADH =90 °
，
∴∠ ADH=30 °
，
∴AH=AD ⋅tan 30 °=8
√
3
3
，
∴BH =HF =8−8
√
3
3
．
(3)
解：如图
②
中，存在．理由如下：
2
∵
四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=CD =8
，
AB/¿CD
，
∠DAH=90 °
，
∵tan ∠ADH =AH
AD =4
3
，
∴
可以假设
AH=4k
，
AD=3k
，则
DH =5k
，
∵△BHF
是等腰三角形，
∠BHF
是钝角，
∴HF=BH
，设
BH =HF=x
，
∵AH /¿CD
，
∴AH
CD =HF
DF
，
∴4k
8=x
5k − x

①
，
∵AH +BH =8
，
∴4k+x=8

②
，
由
①②
可得，
x=8
3
或
40
3¿
舍弃
¿
，
∴
存在，该三角形的腰长为
8
3
．
2. 如图，矩形 ABCD 中，
AD=3
，
AB=4
，点 P是对角线 AC 上一动点
¿
不与 A，C
重合
¿
，连接 BP，作
PE ⊥PB
，交射线 DC 于点 E，以线段 PE，PB 为邻边作矩
形
BPEF .
过点 P作
GH ⊥CD
，分别交 AB、CD 于点 G、H．
3
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