《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题07 相似三角形中的定值问题专练（一）（解析版）

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专题 07 相似三角形中的定值问题专练（一）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、解答题
1. 如图，已知在矩形 ABCD 中，
AB=2
，
BC=6
，点 E从点 D出发，沿 DA 方向以
每秒 1个单位的速度向点 A运动，点 F从点 B出发，沿射线 AB 以每秒 3个单位的
速度运动，当点 E运动到点 A时，E、F两点停止运动．连结 BD，过点 E作
EH ⊥BD
，垂足为 H，连结 EF，交 BD 于点 G，交 BC 于点 M，连结 CF．
(1)△CDE
与
△CBF
相似吗？为什么？
(2)
求证：
∠DBC=∠EFC
；
同线段 GH 的值是定值吗？如果不是，请说明理由；如果是，求出这个定值．
【分析】
(1)
根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断；
(2)
想办法证明
△DCB
∽
△ECF
，可得
∠DBC=∠EFC
；
(3)
结论：线段 GH 的值是定值．
GH =
√
10
5.
由
△EDC
∽
△EHG
，可得
ED
EH =DC
HG
，
由
AB=DC
，可得
ED
AB =EH
HG
，想办法用 t表示 EH，代入化简即可解决问题；
本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、三角
函数等知识，综合性较强，利用同角的余角相等证明角相等是解题的关键，本题还用
到方程的思想解决线段的长度问题．
【解答】
(1)
解：
∵
四边形 ABCD 是矩形，
AD/¿BC
，
AB=DC
，
∴∠ CDA=∠DCB=∠DAB=∠ABC=90 °
，
∵DC
BC =2
6=1
3
，
DE
BF =t
3t=1
3
，
1
∴DC
BC =DE
BF
，
∵∠ CDE=∠FBC =90 °
∴△CDE
∽
△CBF
．
(2)
证明：
∵△CDE
∽
△CBF
．
∴∠ DCE=∠BCF
，
EC
CF =DC
BC
，
∵∠ DCE+∠BCE=90 °
，
∴∠ BCE+∠BCF =90 °
，
∴∠ ECF=90°
，
∴EC
DC =CF
BC
，
∵∠ DCB=∠ECF
∴△DCB
∽
△ECF
，
∴∠ DBC=∠EFC
．
(3)
解：结论：线段 GH 的值是定值．
GH =
√
10
5
．
理由：作
CN ⊥DB
于N．
∵AD=BC=6
，
AB=2
，
∴BD=
√
A D2− A B2=2
√
10
，
∵∠ EDH =∠ADB
，
∠EHD=∠DAB
，
∴△DEH
∽
△DBA
，
∴ED
DB =EH
AB
，
∴t
2
√
10 =EH
2
，
∴EH =
√
10
10 t
，
∵△DCB
∽
△ECF
，
2
∴∠ DBC=∠EFC
，
∴∠ CDB=∠CEF
，
∵∠ CDB+∠DCN =90 °
，
∠DCN +∠NCB=90 °
，
∴∠ BDC=∠NCB=∠CEF
∵CN ⊥BD
，
EH ⊥DB
，
∴CN /¿EH
，
∴∠ NCE=∠CEH
，
∴∠ ECB=∠HEG
，
∵AD /¿BC
，
∴∠ DEC=∠ECB
，
∴∠ DEC=∠HEG
，
∵∠ EDC=∠EHG=90°
，
∴△EDC
∽
△EHG
，
∴ED
EH =DC
HG
，
∵AB=DC
，
∴ED
AB =EH
HG
，
∴t
2=
√
10
10 t
GH
，
∴HG=
√
10
5
．
2. 如图 1，已知在矩形 ABCD 中，
AD=10
，E是CD 上一点，且
DE=5
，点 P是
BC 上一点，
PA=10
，
∠PAD=2∠DAE
．
(1)
求证：
∠APE=90°
；
(2)
求AB 的长；
如图 2，点 F在BC 边上且
CF=4
，点 Q是边 BC 上的一动点，且从点 C向点 B
方向运动．连接 DQ，M是DQ 的中点，将点 M绕点 Q逆时针旋转
90 °
，点 M的
对应点是
M ′
，在点 Q的运动过程中，
①
判断
∠M ′ FB
是否为定值？若是说明理
3
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