《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题07 二次函数中平行四边形问题培优训练（一）（原卷版）

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专题 07 二次函数中的平行四边形问题培优训练（一）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、解答题
1. 已知抛物线
y=−1
4x2+bx +c
经过点
A(4,3)
，顶点为 B，对称轴是直线
x=2
．
(1)
求抛物线的函数表达式和顶点 B的坐标；
(2)
如图 1，抛物线与 y轴交于点 C，连接 AC，过 A作
AD⊥x
轴于点 D，E是线
段AC 上的动点
¿
点E不与 A，C两点重合
；
(i)
若直线 BE 将四边形 ACOD 分成面积比为 1：3的两部分，求点 E的坐标；
(ii)
如图 2，连接 DE，作矩形 DEFG，在点 E的运动过程中，是否存在点 G落在 y
轴上的同时点 F恰好落在抛物线上？若存在，求出此时 AE 的长；若不存在，请说
明理由．
1
2. 如图，已知抛物线
y=a x2+bx +3(a ≠0)
经过点
A(1,0)
和点
B(3,0)
，与 y轴交于
点C．
(1)
求此抛物线的解析式；
(2)
若点 P是直线 BC 下方的抛物线上一动点
¿
不点 B，C重合
¿
，过点 P作y轴的
平行线交直线 BC 于点 D，设点 P的横坐标为 m．
①
用含 m的代数式表示线段 PD 的长．
②
连接 PB，PC，求
△PBC
的面积最大时点 P的坐标．
(3)
设抛物线的对称轴与 BC 交于点 E，点 M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴
上一点，是否存在这样的点 M和点 N，使得以点 C、E、M、N为顶点的四边形是
菱形？如果存在，请直接写出点 M的坐标；如果不存在，请说明理由．
3. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过
A(−4,0)
，
B(0, − 4)
，
C(2,0)
三
点．
2
(1)
求抛物线的解析式；
(2)
若点 M为第三象限内抛物线上一动点，点 M的横坐标为 m，
△AMB
的面积为
S，求 S关于 m的函数关系式，并求出 S的最大值；
(3)
若点 P是抛物线上的动点，点 Q是直线
y=− x
上的动点，判断有几个位置能
使以点 P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形
¿
要求
PQ /¿OB¿
，直接写出相
应的点 Q的坐标．
4. 如图，已知抛物线
y=x2+bx +c
的图象与 x轴的一个交点为
B(4,0)
，另一点为
A，且与 y轴交于点
C(0,4)
．
3
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