《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题07 二次函数中平行四边形问题培优训练（一）（解析版）

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专题 07 二次函数中的平行四边形问题培优训练（一）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、解答题
1. 已知抛物线
y=−1
4x2+bx +c
经过点
A(4,3)
，顶点为 B，对称轴是直线
x=2
．
(1)
求抛物线的函数表达式和顶点 B的坐标；
(2)
如图 1，抛物线与 y轴交于点 C，连接 AC，过 A作
AD⊥x
轴于点 D，E是线
段AC 上的动点
¿
点E不与 A，C两点重合
；
(i)
若直线 BE 将四边形 ACOD 分成面积比为 1：3的两部分，求点 E的坐标；
(ii)
如图 2，连接 DE，作矩形 DEFG，在点 E的运动过程中，是否存在点 G落在 y
轴上的同时点 F恰好落在抛物线上？若存在，求出此时 AE 的长；若不存在，请说
明理由．
【分析】
(1)
由题意得出
{
−1
4×42+4b+c=3
−b
2×(−1
4)
=2
，解得
{
b=1
c=3
，得出抛物线的函数表达式
为：
y=−1
4x2+x+3=−1
4¿
，即可得出顶点 B的坐标为
(2,4)
；
(2)(i)
求出
C(0,3)
，设点 E的坐标为
(m ,3)
，求出直线 BE 的函数表达式为：
1
y=−1
m −2x+4m −6
m− 2
，则点 M的坐标为
(4m− 6,0)
，由题意得出
OC=3
，
AC=4
，
OM =4m−6
，
CE=m
，则
SACOD矩形 =12
，
SECOM梯形 =15 m −18
2
，分两种情况求出
m的值即可；
(ii)
过点 F作
FN ⊥AC
于N，则
NF/¿CG
，设点 F的坐标为：
(a , − 1
4a2+a+3)
，则
NF=3−(−1
4a2+a+3)= 1
4a2− a
，
NC=−a
，证
△EFN
≌
△DGO(ASA )
，得出
NE=OD=AC=4
，则
AE=NC=−a
，证
△ENF
∽
△DAE
，得出
NE
AD =NF
AE
，求出
a=−4
3
或0，当
a=0
时，点 E与点 A重合，舍去，得出
AE=NC=−a=4
3
，即可得出
结论．
本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、二次函数的性质、一次函
数解析式的求法、坐标与图形性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、
相似三角形的判定与性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，属于中考压轴题型．
【解答】解：
(1)∵
抛物线
y=−1
4x2+bx +c
经过点
A(4,3)
，对称轴是直线
x=2
，
∴
{
−1
4×42+4b+c=3
−b
2×(−1
4)
=2
，
解得：
{
b=1
c=3
，
∴
抛物线的函数表达式为：
y=−1
4x2+x+3
，
∵y=−1
4x2+x+3=−1
4¿
，
∴
顶点 B的坐标为
(2,4)
；
2
(2)(i)∵y=−1
4x2+x+3
，
∴x=0
时，
y=3
，
则C点的坐标为
(0,3)
，
∵A(4,3)
，
∴AC /¿OD
，
∵AD ⊥x
，
∴
四边形 ACOD 是矩形，
设点 E的坐标为
(m ,3)
，直线 BE 的函数表
达式为：
y=kx+n
，直线 BE 交x轴于点
M，如图 1所示：
则
{
2k+n=4
mk+n=3
，
解得：
{
k=−1
m− 2
n=4m− 6
m−2
，
∴
直线 BE 的函数表达式为：
y=−1
m −2x+4m −6
m− 2
，
令
y=−1
m −2x+4m −6
m− 2=0
，则
x=4m− 6
，
∴
点M的坐标为
(4m− 6,0)
，
∵
直线 BE 将四边形 ACOD 分成面积比为 1：3的两部分，
∴
点M在线段 OD 上，点 M不与点 O重合，
∵C(0,3)
，
A(4,3)
，
M(4m− 6,0)
，
E(m, 3)
，
∴OC =3
，
AC=4
，
OM =4m−6
，
CE=m
，
∴SACOD矩形 =OC ⋅AC=3×4=12
，
SECOM梯形 =1
2(OM +EC)⋅OC=1
2(4m− 6+m)×3=15 m −18
2
，
分两种情况：
3
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