《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题07 第七章《锐角三角函数》中的圆问题培优训练（解析版）

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专题 07 2020 第七章《锐角三角函数》中的圆问题培优训
练
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、解答题
1. 如图，AB 是
⊙O
的直径，半径
OC ⊥AB
，垂足为
O，直线 l为
⊙O
的切线，A是切点，D是OA 上一点，
CD 的延长线交直线 l于点 E，F是OB 上一点，CF
的延长线交
⊙O
于点 G，连接 AC，AG，已知
⊙O
的
半径为 3，
CE=
√
34
，
5BF − 5AD=4
．
求AE 的长；
(2)
求
cos ∠CAG
的值及 CG 的长．
【解析】
(1)
延长 CO 交
⊙O
于T，过点 E作
EH ⊥CT
于
H .
首先证明四边形 AEHO 是
矩形，利用勾股定理求出 CH，OH 即可．
(2)
利用勾股定理求出 CF，利用相似三角形的性质求出 FG，证明
∠CAG=∠CTG
，
求出
cos ∠CTG
即可解决问题．
本题考查切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
【答案】解：
(1)
延长 CO 交
⊙O
于T，过点 E作
EH ⊥CT
于H．
∵
直线 l是
⊙O
的切线，
∴AE ⊥OD
，
∵OC ⊥AB
，
∴∠ EAO=∠AOH =∠EHO=90 °
，
∴
四边形 AEHO 是矩形，
∴EH =OA=3
，
AE=OH
，
∵CH =
√
E C2− E H 2=
√
¿¿
，
1
∴AE=OH=CH −CO=5−3=2
．
(2)∵AE /¿OC
，
∴AE
OC =AD
DO =2
3
，
∴AD=2
5OA=6
5
，
∵5BF −5AD=4
，
∴BF=2
，
∴OF=OB − BF=1
，
AF=AO+OF=4
，
CF=
√
O C2+O F2=
√
32+12=
√
10
，
∵∠ FAC=∠FGB
，
∠AFC =∠GFB
，
∴△AFC
∽
△GFB
，
∴AF
FG =CF
BF
，
∴4
FG =
√
10
2
，
∴FG=4
√
10
5
，
∴CG=FG +CF=9
√
10
5
，
∵CT
是直径，
∴∠ CGT =90 °
，
∴>¿
√
T C2−C G2=
√
62−¿¿
，
∴cos ∠CTG=TG
TC =
3
√
10
5
6=
√
10
10
，
∵∠ CAG=∠CTG
，
∴cos ∠CAG=
√
10
10
．
2
2. 如图，
△ABC
中，AC 为
⊙O
的直径，点 D在BC 上，
AC=CD
，
∠ACB=2∠BAD
(1)
求证：AB 与
⊙O
相切；
(2)
连接 OD，若
tanB=3
4
，求
tan ∠ADO
．
【解析】
(1)
设线段 AD 与
⊙O
交于 E，连接 CE，根据圆周角定理得到
CE ⊥AD
，求
得
∠ACE=∠DAB
，于是得到结论；
(2)
根据切线的性质得到
∠CAB=90 °
，延长 CE 交AB 于M，则 CM 为AD 的垂直平分
线，连接 DM，根据全等三角形的性质得到
∠CDM=∠CAB=90°
，设
AM =MD=3a
，
DB=4a
，
MB=5a
，得到
AB=8a
，
AC=6a
，设
EN=k
，得到
AE=DE=2k
，
CE=4k
，过 O作
ON ⊥AD
于N，根据三角形的中位线定理得到
ON =1
2CE=2k
，
AN=1
2AE=k
，于是得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，三角函数的定义，线段垂直平分线的判定和性质，全
等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【答案】
(1)
证明：设线段 AD 与
⊙O
交于 E，连接 CE，
∵AC
为
⊙O
的直径，
∴CE ⊥AD
，
∵AC=CD
，
∴∠ ACD=2∠ACE
，
∵∠ ACB=2∠BAD
，
∴∠ ACE=∠DAB
，
∵∠ CAE=90 °
，
∴∠ CAE+∠DAB=90
，
3
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