《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题06 二次函数解答题难题培优训练（二）（解析版）

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专题 06 二次函数中的解答题难题培优训练（二）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、解答题
1. 如图所示，已知二次函数经过点
B(3,0)
，
C(0,3)
，
D(4, −5)
(1)
求抛物线的解析式；
(2)
求
△ABC
的面积；
(3)
若P是抛物线上一点，且
，这
样的点 P有几个请直接写出它们的坐标．
【分析】
(1)
设抛物线的解析式为
y=a x2+bx +c
，把点
B(3,0)
，
C(0,3)
，
D(4, −5)
分别代入求出 a，b，c即可．
(2)
求得 A的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
(3)
根据题意求得
S△ABP=3
，设 P的纵坐标为 n，根据三角形面积公式得出
1
2AB ⋅∨n∨¿3
，解得
n=±3
2
，代入抛物线的解析式即可求得．
本题考查了待定系数法求函数解析式、抛物线与 x轴的交点、三角形的面积，解题的
关键是先求出函数解析式．
【解答】解：
(1)
设二次函数的解析式为
y=a x2+bx +c(a≠ 0)
，
由题意可得函数经过
B(3,0)
，
C(0,3)
，
D(4, −5)
三点
{
9a+3b+c=0
c=3
16 a+4b+c=−5
解得
{
a=−1
b=2
c=3
，
所以二次函数的解析式为
y=− x2+2x+3
；
(2)
由题意得，
− x2+2x+3=0

x1=−1
，
x2=3
，
∴A
点坐标为
(−1,0)
，
∵AB=4
，
OC=3
，
1
∴S△ABC =1
2×4×3=6
；
(3)
设P的纵坐标为 n，
∵S△ABP=1
2S△ABC
，
∴S△ABP=3
，
即
1
2AB ⋅∨n∨¿3
，解得
n=±3
2
，
∴±3
2=− x2+2x+3
，解
x=2±
√
10
2
或
x=2±
√
22
2
，
∴
这样的点 P有4个，它们分别是
(2+
√
10
2,3
2)
，
(2−
√
10
2,3
2)
，
(2+
√
22
2,− 3
2)
，
(2−
√
22
2,− 3
2).
2. 如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线
y=a x2+bx +4
经过点
A(−3,0)
和
点
B(3,2)
，与 y轴相交于点 C．
(1)
求这条抛物线的表达式；
(2)
点P是抛物线在第一象限内一点，联结 AP，如果点 C关于直线 AP 的对称点 D
恰好落在 x轴上，求直线 AP 的截距；
(3)
在
(2)
小题的条件下，如果点 E是y轴正半轴上一点，点 F是直线 AP 上一点．
当
△EAO
与
△EAF
全等时，求点 E的纵坐标．
【分析】
(1)
把
A(−3,0)
和点
B(3,2)
代入抛物线的解析式，列方程组，可得结论；
(2)
如图 1，根据对称的性质得
AD=AC=5
，可得
OD=2
，设
OH =a
，则
2
HC=HD=4− a
，在
Rt △HOD
中，根据勾股定理得
H D2=O H 2+O D2
，列方程可
得结论；
(3)
分两种情况：先说明
△AOE
是直角三角形，所以
△EAF
也是直角三角形，根据
∠EFA=90 °
，画图，由勾股定理列方程可解答．
本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是掌握二次函数的性质，对称的性质：
对称轴是对称点连接的垂直平分线，三角形全等的性质和判定，当三角形全等不确定
边的对应关系时，先确定三角形的特殊性，如直角三角形或等腰三角形等条件，再进
一步分情况讨论．
【解答】解：
(1)∵
抛物线
y=a x2+bx +4
过点
A(−3,0)
和点
B(3,2)
，
∴
{
9a − 3b+4=0
9a+3b+4=2
，
解得
{
a=−1
3
b=1
3
，
∴y=−1
3x2+1
3x+4
；
(2)
如图 1，连接 AC，DH，
∵
点C关于直线 AP 的对称点 D，
∴AD=AC
，
∵y=−1
3x2+1
3x+4
与y轴交于点
C(0,4)
，与 x轴交于点
A(−3,0)
，
∴AC=5
，
∴AD=5
，
∴
点
D(2,0)
，
设直线 AP 与y轴交于点 H，则
HC=HD
，
3
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