《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题05 相似三角形中的存在性问题专练（一）（原卷版）

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专题 05 相似三角形中的存在性问题专练（一）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 在探究“抛物线
y=x2−2x −3
与x轴交于 A、B两点
¿
在B的左边
¿
，过点 A且与
x轴成
45 °
角的直线 l，与抛物线交于点 C”的图形性质时，小慧在得出“在第一
象限存在一点
C1
，第四象限存在一点
C2
满足条件”这一正确结论后，还由此得出
下列结论：
①△A C1C2
的外接圆圆心在
的中点处；
②C1
的横坐标为 4，
C2
的纵坐标为
−3
；
③
过点
C1
、
C2
作x轴的垂线，垂足分别为
D1
、
D2
，则
△C1D1B
∽
△C2D2B
，则其中正确的为
()
A.
①②
B.
②③
C.
①③
D.
①②③
2. 如图，在梯形 ABCD 中，
AD /¿BC
，
∠D=90 °
，
DC=6
，
AD=2
，
BC=4
，如果在边 DC 上找一点 P使得
△PAD
和
△PBC
相似，那么这样的点 P存在的个数是
()
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中
, A
(
−3,0
)
, B
(
3,0
)
，若在直线
y=− x+m
上存在点
P满足
∠APB=60 ❑∘
，则 m的取值范围是
¿
¿
1
A.
❑
√
6−5❑
√
3≤m≤❑
√
6+5❑
√
3
B.
−❑
√
6−5❑
√
3≤m≤❑
√
6+5❑
√
3
C.
❑
√
3−2❑
√
6≤ m≤❑
√
3+2❑
√
6
D.
−❑
√
3−2❑
√
6≤ m≤❑
√
3+2❑
√
6
4. 如图所示，矩形 ABCD 中，
AD=a
，
AB=b
，若要使 BC
边上至少存在一点 P，使
△ABP
、
△APD
、
△CDP
两
两相似，则 a，b间的关系一定满足
()
A.
a ≥ 2b
B.
a ≥ 4b
C.
a ≥ 5b
D.
a ≥ 7
2b
二、填空题
5. 如图，PA 与
⊙O
相切于点 A，AB 是
⊙O
的直径，
在
⊙O
上存在一点 C满足
PA=PC
，连结 PB、AC
相交于点 F，且
∠APB=3∠BPC
，则
PF
BF =¿
__
____．
6. 小明学习完
《
相似三角形
》
一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直
角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角
形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割
出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样
的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．
如图 1、图 2，直线 CG、DH 分别是两个不相似的
Rt △ABC
和
Rt △≝¿
的相似分
割线，CG、DH 分别与斜边 AB、EF 交于点 G、H，如果
△BCG
与
△DFH
相似，
2
AC=3
，
AB=5
，
DE=4
，
DF =8
，那么
AG=¿
______．
7. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，B的坐标分别为
(0,1)
和
(
√
3,0)
，若在第四象限存在点 C，使
△OBC
和
△OAB
相似，则点 C的坐标是________．
三、解答题
8. 如图 1，已知矩形 ABCD 的宽
AD=8
，点 E在边 AB 上，P为线段 DE 上的一动点
¿
点P与点 D，E不重合
¿
，
∠MPN=90 °
，M，N分别在直线 AB，CD 上，过点 P
作直线
HK /¿AB
，作
PF ⊥AB
，垂足为点 F，过点 N作
NG ⊥HK
，垂足为点 G
(1)
求证：
∠MPF=∠GPN
(2)
在图 1中，将直角
∠MPN
绕点 P顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：
当
MF=NG
时，
△MPN
是什么特殊三角形？在图 2中用直尺画出图形，并证明
你的猜想；
(3)
在
(2)
的条件下，当
∠EDC=30 °
时，设
EP=ｘ
，
△MPN
的面积为 S，求出
S关于
ｘ
的解析式，并说明 S是否存在最小值？若存在，求出此时
ｘ
的值和
△MPN
面积的最小值；若不存在，请说明理由。
3
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