《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题05 相似三角形中的存在性问题专练（一）（解析版）

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专题 05 相似三角形中的存在性问题专练（一）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 在探究“抛物线
y=x2−2x −3
与x轴交于 A、B两点
¿
在B的左边
¿
，过点 A且与
x轴成
45 °
角的直线 l，与抛物线交于点 C”的图形性质时，小慧在得出“在第一
象限存在一点
C1
，第四象限存在一点
C2
满足条件”这一正确结论后，还由此得出
下列结论：
①△A C1C2
的外接圆圆心在
C1C2
的中点处；
的横坐标为 4，
C2
的纵坐标为
−3
；
③
过点
C1
、
C2
作x轴的垂线，垂足分别为
D1
、
D2
，则
△C1D1B
∽
△C2D2B
，则其中正确的为
()
A.
①②
B.
②③
C.
①③
D.
①②③
【答案】A
【分析】求出点
A(−1,0)
，求出直线 l的解析式，利用方程组求出
C1
，
C2
的坐标，
①
可判断
△A C1C2
是以
C1C2
为斜边的直角三角形；
②
由求出的点
C1
，
C2
的坐标可判断；
③
根据对应边不成比例可判断结论．
本题考查相似三角形的判定、抛物线与 x轴的交点、解直角三角形等知识，解题的关
键是学会利用方程组求两个函数图象的交点坐标，属于中考常考题型．
【解答】解：
∵
抛物线
y=x2−2x −3
与x轴交于 A、B两点
¿
在B的左边
¿
，
∴A(−1,0)
，
B(3,0)
，
设直线 l的解析式为
y=x+b
，
∴−1+b=0
，
解得：
b=1
，
∴
直线 l的解析式为
y=x+1
，
由
{
y=x+1
y=x2−2x −3
解得
{
x=4
y=5
或
{
x=−1
y=0
，
∵A(−1,0)
，
∴C1(4,5)
，
1
由
{
y=−x−1
y=x2−2x −3
解得
{
x=2
y=−3
或
{
x=−1
y=0
，
∴C2(2, −3)
，
∴A C2=3
√
2
，
C1C2=2
√
17
，
A C1=5
√
2
，
∵A C2
2+A C1
2=C1C2
2
，
∴△A C1C2
的是以
C1C2
为斜边的直角三角形，
∴△A C1C2
的外接圆圆心在
C1C2
的中点处，故
①②
正确；
∵C1D1
B D1
≠C2D2
B D2
，故
③
错误．
2. 如图，在梯形 ABCD 中，
AD /¿BC
，
∠D=90 °
，
DC=6
，
AD=2
，
BC=4
，如果在边 DC 上找一点 P使得
△PAD
和
△PBC
相似，那么这样的点 P存在的个数是
()
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【分析】根据已知分两种情况
△PAD
∽
△PBC
或
△PAD
∽
△BPC
来进行分析，求得
PD 的长，从而确定 P存在的个数．
此题考查了相似三角形的判定，依据相似三角形的判定定理列出关于 x的方程是解题
的关键．
【解答】解：
∵AD /¿BC
，
∠D=90 °
∴∠ C=∠D=90 °
∵DC =6
，
AD=2
，
BC=4
设
PD=x
，则
PC=6− x
．
如图所示：
2
①
若PD：
PC=AD
：BC，则
△PAD
∽
△PBC
∴x
6− x =2
4
，解得：
x=2
②
若PD：
BC=AD
：PC，则
△PAD
∽
△BPC
∴x
4=2
6− x
，解得：
x2−6x+8=0
，解得：
x=2
或x4．
∴
这样的点 P存在的个数是 2．
3. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中
, A
(
−3,0
)
, B
(
3,0
)
，若在直线
y=− x+m
上存在点
P满足
∠APB=60 ❑∘
，则 m的取值范围是
¿
¿
A.
❑
√
6−5❑
√
3≤m≤❑
√
6+5❑
√
3
B.
−❑
√
6−5❑
√
3≤m≤❑
√
6+5❑
√
3
C.
❑
√
3−2❑
√
6≤ m≤❑
√
3+2❑
√
6
D.
−❑
√
3−2❑
√
6≤ m≤❑
√
3+2❑
√
6
【答案】D
【分析】
本题考查了一次函数图象上点坐标的特征，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，
求得直线与外接圆相切时的 m的值是解题的关键．
作等边三角形 ABE，然后作外接圆，求得直线
y=− x+m
与外接圆相切时的 m的值，
即可求得 m的取值范围．
3
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