《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题05 二次函数解答题难题培优训练（一）（解析版）

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专题 05 二次函数中的解答题难题培优训练（一）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、解答题
1. 如图，抛物线
y=m x2−16 mx+48 m(m>0)
与x轴交于 A，B两点
¿
点B在点 A左
侧
¿
，与 y轴交于点 C，点 D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接
OD、BD、AC、AD，延长 AD 交y轴于点 E．
(1)
若
△OAC
为等腰直角三角形，求 m的值；
(2)
若对任意
m>0
，C、E两点总关于原点对称，求点 D的坐标
用含 m的式子表
示
¿
；
(3)
当点 D运动到某一位置时，恰好使得
∠ODB=∠OAD
，且点 D为线段 AE 的
中点，此时对于该抛物线上任意一点
P(x0, y0)
总有
n+1
6≥− 4
√
3m y0
2−12
√
3y0−50
成立，求实数 n的最小值．
【分析】
(1)
根据
y=m x2−16 mx+48 m
，可得
A(12,0)
，
C(0,48 m)
，再根据
OA=OC
，即可得到
12=48 m
，进而得出 m的值；
(2)
根据 C、E两点总关于原点对称，得到
E(0,− 48 m)
，根据
E(0,− 48 m)
，
A(12,0)
可得直线 AE 的解析式，最后解方程组即可得到直线 AE 与抛物线的交点 D的
坐标；
(3)
根据
△ODB
∽
△OAD
，可得
OD=4
√
3
，进而得到
D(6,− 2
√
3)
，代入抛物线
y=m x2−16 mx+48 m
，可得抛物线解析式，再根据点
P(x0, y0)
为抛物线上任意一点，
即可得出
y0≥− 8
√
3
3
，令
t=−2¿
，可得
t最大值=−2¿
，再根据
n+1
6≥10
3
，可得实数 n
1
的最小值为
19
6
．
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的最值，等腰直角三角形的性质，相
似三角形的判定与性质以及待定系数法求直线解析式的综合应用，解这类问题关键是
善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的
知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
【解答】解：
(1)
令
y=m x2−16 mx+48 m=m(x − 4)(x − 12)=0
，则
x1=12
，
x2=4
，
∴A(12,0)
，即
OA=12
，
又
∵C(0,48 m)
，
∴
当
△OAC
为等腰直角三角形时，
OA=OC
，
即
12=48 m
，
∴m=1
4
；
(2)
由
(1)
可知点
C(0,48 m)
，
∵
对任意
m>0
，C、E两点总关于原点对称，
∴
必有
E(0,− 48 m)
，
设直线 AE 的解析式为
y=kx+b
，
将
E(0,− 48 m)
，
A(12,0)
代入，可得
{
12 k+b=0
b=−48 m
，解得
{
k=4m
b=−48 m
，
∴
直线 AE 的解析式为
y=4mx − 48 m
，
∵
点D为直线 AE 与抛物线的交点，
∴
解方程组
{
y=m(x −4)(x −12)
y=4mx −48 m
，可得
{
x=8
y=−16 m
或
{
x=12
y=0¿
点A舍去
¿
，
即点 D的坐标为
(8, −16 m)
；
2
(3)
当
∠ODB=∠OAD
，
∠DOB=∠AOD
时，
△ODB
∽
△OAD
，
∴O D2=OA ×OB=4×12=48
，
∴OD=4
√
3
，
又
∵
点D为线段 AE 的中点，
∴AE=2OD=8
√
3
，
又
∵OA=12
，
∴OE =
√
A E2− A O2=4
√
3
，
∴D(6, −2
√
3)
，
把
D(6,− 2
√
3)
代入抛物线
y=m x2−16 mx+48 m
，可得
−2
√
3=36 m−96 m+48 m
，
解得
m=
√
3
6
，
∴
抛物线的解析式为
y=
√
3
6(x − 4)(x −12)
，
即
y=
√
3
6¿
，
∵
点
P(x0, y0)
为抛物线上任意一点，
∴y0≥ − 8
√
3
3
，
令
t=−4
√
3m y0
2−12
√
3y0−50=−2y0
2−12
√
3y0−50=−2¿
，
则当
y0≥− 8
√
3
3
时，
t最大值=−2¿
，
若要使
n+1
6≥− 4
√
3m y0
2−12
√
3y0−50
成立，则
n+1
6≥10
3
，
∴n≥ 31
6
，
∴
实数 n的最小值为
19
6
．
3
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