《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题05 第七章《锐角三角函数》压轴题培优训练（一）（解析版）

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专题 05 2020 第七章《锐角三角函数》压轴题培优训练
（一）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角 A
的正对记作 sadA，即
sadA=¿
底边：腰．如图，在
△ABC
中，
AB=AC
，
∠A=2∠B .
则
sinB⋅sadA=()
A.
1
2
B. 1C.
√
2
D. 2
【答案】B
【解析】证明
是等腰直角三角形即可解决问题．
本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数等知识，解题的关
键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【解答】解：
∵AB=AC
，
∴∠ B=∠C
，
∵∠ A=2∠B
，
∴∠ B=∠C=45 °
，
∠A=90 °
，
∴BC=
√
2AC
，
∴sinB⋅sadA=AC
BC ⋅BC
AC =1
，
故选：B．
2. 如图，一个半径为 2的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆
弧的中点 M与圆心 O重合，则图中阴影部分的面积是
¿
¿
A.
8π
3
❑❑
B.
8π
3−2
√
3
C.
4π
3−
√
3
D.
2
√
3−2π
3
【答案】D
1
【解析】
本题考查了轴对称的性质的运用、垂径定理、勾股定理的运用、三角函数值的运用、
扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用．
连接 OM 交AB 于点 C，连接 OA、OB，根据题意
OM ⊥AB
且
OC=MC =1
，继而求
出
∠AOC=60°
、
AB=2AC=2
√
3
，然后根据
SAMB弓形 =SOAB扇形 − S△AOB
、
S阴影=S半圆 −2SAMB弓形
计算可得答案．
【解答】
解：如图，连接 OM 交AB 于点 C，连接 OA、OB，
由题意知，
OM ⊥AB
，且
OC=MC =1
，
在
Rt △AOC
中，
OA=2
，
OC=1
，
∴cos ∠AOC=OC
OA =1
2
，
AC=
√
O A2− OC2=
√
3
，
∴∠ AOC=60 °
，
AB=2AC=2
√
3
，
∴∠ AOB=2∠AOC =120°
，
则
SAMB弓形 =SOAB扇形 − S△AOB
，
S阴影=S半圆 −2SAMB弓形
．
故选 D．
2
3. 如图，正方形 MNCB 在宽为 2的矩形纸片一端，对折正方形 MNCB 得到折痕 AE，
展开后再翻折纸片，使 AB 与AD 重合，以下结论错误的是
()
A.
A H2=10+2
√
5
B.
CD
BC =
√
5−1
2
C.
BC2=CD ⋅EH
D.
sin ∠AHD=
√
5+1
5
【答案】D
【解析】
本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理及三角函数等知识点，解题的关键是熟练
掌握基本知识，属于中考常考题型．
利用勾股定理及翻折的性质求出 AB，AD，CD，EH，AH，一一判断即可解决问题．
【解答】
解：由题意得：
MN =AE=BC=2
，
ME=EB=1
，
在
Rt △AEB
中，
AB=
√
A E2+B E2=
√
22+12=
√
5
，
∴AB=AD=
√
5
，
由翻折的性质可知，
∠BAH =∠DAH
，
∠BHA=∠DHA
，
∵BH /¿AD
，
∴∠ BHA=∠DAH
，
∴∠ BHA=∠BAH
，
∴BH=AB=
√
5
，
∴
在
Rt △AHE
中，
A H2=A E2+E H2=22+¿
，故 A正确；
易知
AC=1
，
3
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