《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题04 相似三角形中的最值问题专练（二）（解析版）

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专题 04 相似三角形中的最值问题专练（二）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 如图，在
△ABC
中，
AB=AC=5
，
BC=4
√
5
，D为边 AB 上一动点
¿
点除外
¿
，
以CD 为一边作正方形 CDEF，连接 BE，则
△BDE
面积的最大值为
()
．
A. 5B.
C. 8D. 10
【答案】C
【分析】
本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质与相似三角形的判定与性质以及全等三角
形的判定与性质是解题的关键
.
过点 C作
CG ⊥BA
于点 G，作
EH ⊥AB
于点 H，作
AM ⊥BC
于点
M .
由
AB=AC=5
，
BC=4
√
5
，得到
BM =CM=2
√
5
，易证
△AMB
∽
△CGB
，求得
GB=8
，设
BD=x
，则
DG=8− x
，易证
△EDH
≌
△DCG
，
EH =DG=8− x
，所以
S△BDE=1
2
BD
⋅
EH
¿1
2
x
¿
x
¿=−1
2¿
x
−4¿2+8
，当
x=4
时，
△BDE
面积的最大值为 8．
【解答】
解：过点 C作
CG ⊥BA
于点 G，作
EH ⊥AB
于点 H，作
AM ⊥BC
于点 M．
1
∵AB=AC=5
，
BC=4
√
5
，
∴BM =CM =2
√
5
，
∵∠ BGC=90 °
，
AM ⊥BC
，
∴∠ AMB=90°
，
∴∠ BGC=∠AMB
，
又
∵∠ ABM=∠CBG
，
∴△AMB
∽
△CGB
，
∴BM
GB =AB
CB
，
即
2
√
5
GB =5
4
√
5
，
∴GB=8
，
设
BD=x
，则
DG=8− x
，
易证
△EDH
≌
△DCG (AAS)
，
∴EH =DG=8− x
，
∴S△BDE=1
2
BD
⋅
EH
¿1
2
x
¿
x
¿=−1
2¿
x
−4¿2+8
，
当
x=4
时，
△BDE
面积的最大值为 8．
2. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为
O(0,0)
，
A(12,0)
，
B(8,6)
，
C(0,6).
动点 P从点 O出发，以每秒 3个单位长度的速度沿边 OA 向终点
A运动；动点 Q从点 B同时出发，以每秒 2个单位长度的速度沿边 BC 向终点 C运
动．设运动的时间为 t秒，作
AG ⊥PQ
于点 G，则 AG 的最大值为
¿
¿
2
A.
√
73
B.
18
√
5
5
C.
36
5
D. 6
【答案】B
【分析】
本题主要考查坐标与图形的知识，相似三角形的判定和性质，两点之间的距离
.
根据相
似三角形得出 PQ 经过一个定点是解题的关键．
连接 OB 交PQ 于点 D，连接 AD，先证
△BDQ
∽
△ODP
，确定 D点坐标，即可解答．
【解答】
解：如图：连接 OB 交PQ 于点 D，连接 AD，
当运动时间为 t时，
OP=3t
，
BQ=2t
，
∵O(0,0)
，
A(12,0)
，
B(8,6)
，
C(0,6)
，
∴OA /¿BC
，
∴△BDQ
∽
△ODP
，
∴BD
OD =BQ
OP =2
3
∴PQ
恒过点 D，
3
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