《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题04 二次函数中的恒成立问题专练（原卷版）

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专题 04 二次函数中的恒成立问题专练
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 已知抛物线
y1=x2−(m+2)x+2m
、直线
y2=2x − 4
，若对于任意的 x的值，
y1≥ y2
恒成立，则 m的值为
()
A. 0B. 2C.
−2
D.
−4
2. 若整数 a既使得关于 x的分式方程
3
1− x −2=a+x
x − 1
有非负数解，又使得关于 x的
不等式
恒成立，则符合条件的所有 a的个数为
()
A. 1B. 2C. 3D. 4
3. 已知一次函数
y1=ax −3a
，二次函数
y2=x2−(a2−2)x − 3.
若
x>0
时，
y1y2≥0
恒成立，则 a的取值范围是
()
A.
a ≤ −2
或
a ≥ 2
B.
−2≤ a ≤2
且
a ≠ 0
C.
a=−2
D.
a=2
二、填空题
4. 已知：对于满足
0≤ p ≤ 4
的实数 p，不等式
x2+px >4x+p −3
恒成立，则 x的取值
范围为______．
5. 已知抛物线
y=a x2+bx +c
经过点
(−1,5)
，且无论 m为何值，不等式
a+b ≥ a m2+bm
恒成立，则关于 x的方程
a x2+bx+c=5
的解为______．
6. 已知 m、n均为整数，当
x ≥ 0
时，
m x2+(mn+6)x+6n ≤ 0
恒成立，则
m+n=¿
___
___．
7. 已知
y=x2+mx − 6
，当
1≤m≤3
时，
y<0
恒成立，那么实数 x的取值范围是_____
_．
三、解答题
8. 已知抛物线 C：
y1=a(x − ℎ)²−1
，直线 l：
y2=kx − kℎ−1
．
(1)
求证：直线 l恒过抛物线 C的顶点；
(2)
当
a=−1
，
m ≤ x ≤2
时，
y1≥ x − 3
恒成立，求 m的最小值；
(3)
当
0<a ≤2
，
k>0
时，若在直线 l下方的抛物线 C上至少存在两个横坐标为整数
的点，求 k的取值范围．
1
9. 如图，抛物线
y=−8
45 (x+15
√
3
8)(x − 3m)¿
其中
m>0¿
与x轴分别交于 A，B两
点
¿
在B的右侧
¿
，与 y轴交于点 c．
(1)
求
△AOC
的周长，
¿
用含 m的代数式表示
¿
(2)
若点 P为直线 AC 上的一点，且点 P在第二象限，满足
O P2=PC ⋅PA
，求
tan ∠APO
的值及用含 m的代数式表示点 P的坐标；
(3)
在
(2)
的情况下，线段 OP 与抛物线相交于点 Q，若点 Q恰好为 OP 的中点，此
时对于在抛物线上且介于点 C与抛物线顶点之间
¿
含点 C与顶点
¿
的任意一点
M(x0, y0)
总能使不等式
n ≤ 4
√
3
x0+23
√
3
16
及不等式
2n − 9
16 ≥ − 4x0
2+
√
3x0+13
8
恒成
立，求 n的取值范围．
10. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线
y=kx+1(k ≠ 0)
经过点
A(2,3)
，与 y轴交于点
B，与抛物线
y=a x2+bx +a
的对称轴交于点
C(m ,2)
．
(1)
求m的值；
(2)
若该二次函数图象恰好经过 A，B，C，
D(4,9)
四个点中的两个点，求该二次
函数的表达式；
2
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