《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题04 二次函数中的恒成立问题专练（解析版）

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专题 04 二次函数中的恒成立问题专练
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 已知抛物线
y1=x2−(m+2)x+2m
、直线
y2=2x − 4
，若对于任意的 x的值，
y1≥ y2
恒成立，则 m的值为
()
A. 0B. 2C.
−2
D.
−4
【答案】A
【分析】根据
y1≥ y2
恒成立，可知：
，得新二次函数：
w=x2−(m+4)x+2m+4
，当
w ≥ 0
时，由抛物线顶点的纵坐标一定大于等于 0，可得
结论．
本题考查了二次函数与不等式
¿
组
¿
：函数值 y与某个数值 m之间的不等关系，一般要
转化成关于 x的不等式，解不等式求得自变量 x的取值范围；利用两个函数图象在直
角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把
两个函数解析式列成不等式求解．
【解答】解：
∵y1≥ y2
，
∴y1− y2≥0
，
∴x2−(m+2)x+2m−(2x − 4)
，
¿x2−(m+4)x+2m+4≥0
，
设
w=x2−(m+4)x+2m+4
，
当
w ≥ 0
时，
∴4(2m+4)−¿¿
，
m=0
，
2. 若整数 a既使得关于 x的分式方程
3
1− x −2=a+x
x − 1
有非负数解，又使得关于 x的
不等式
x2− x+a+5≥0
恒成立，则符合条件的所有 a的个数为
()
A. 1B. 2C. 3D. 4
1
【答案】C
【分析】解分式方程，由其解有非负数解，以及解不能为增根，列出 a的不等式求得 a
的取值范围；再根据使不等式
x2− x+a+5≥0
恒成立，即抛物线
y=x2− x +a+5
的顶
点不在 x轴下方，满足
△=b2−4ac ≤ 0
，由此列出 a的不等式求得 a的又一取值范围，
综上 a的取值范围，便可确定整数 a的值，问题便可解决．
本题考查了解一元一次不等式组、分式方程的解，有难度，注意分式方程中的解要满
足分母不为 0的情况．
【解答】解：解
3
1− x −2=a+x
x − 1
得，
x=−a+1
3
，
∵
整分式方程
3
1− x −2=a+x
x − 1
有非负数解，
∴−a+1
3≥0
，且
x − 1=−a+1
3−≠ 0
∴a ≤− 1
且
a ≠ − 4
，
∵
又使得关于 x的不等式
x2− x+a+5≥0
恒成立，
∴
二次函数
y=x2− x +a+5
的顶点不在 x轴下方，
∴△=1−4(a+5)≤0
，
解得，
a ≥ − 43
4
，
综上，
−43
4≤ a ≤− 1
且
a ≠ − 4
，
∵a
为整数，
∴a=−3
或
−2
或
−1
，
3. 已知一次函数
y1=ax −3a
，二次函数
y2=x2−(a2−2)x − 3.
若
x>0
时，
y1y2≥0
恒成立，则 a的取值范围是
()
A.
a ≤ −2
或
a ≥ 2
B.
−2≤ a ≤2
且
a ≠ 0
C.
a=−2
D.
a=2
【答案】D
2
【分析】由已知可以确定
y1
经过点
(3,0)
，
y2
经过点
(0, −3)
，根据
x>0
时，
y1y2≥0
恒
成立，可以断定
(3,0)
是两函数的交点，即可求 a；
本题考查一次函数与二次函数图象及性质；能够根据两个函数分别经过的顶点，结合
已知确定点
(3,0)
是函数的交点是解题的关键．
【解答】解：
y1=ax −3a=a(x −3)
，
∴y1
经过点
(3,0)
，
y2=x2−(a2−2)x − 3
，经过点
(0, −3)
，
∵x>0
时，
y1y2≥0
恒成立，
∴a>0
，且
(3,0)
是两函数的交点，
∴0=32−(a2−2)×3−3
，
∴a=±2
，
∴a=2
；
二、填空题
4. 已知：对于满足
0≤ p ≤ 4
的实数 p，不等式
x2+px >4x+p −3
恒成立，则 x的取值
范围为______．
【答案】
x<−1
或
x>3
【分析】设
y=(x − 1)p+x2−4x+3
，
x − 1≠0¿
否则原不等式不成立
¿
，列出关于 x
的两个一元二次不等式，分别求出不等式的解集，即为满足题意的 x的取值范围．
此题考查了其他不等式的解法，考查了函数的思想以及转化的思想，是一道中档题．
【解答】解：原不等式化为：
x2+(x − 1)p −4x+3>0
设
y=(x − 1)p+x2−4x+3
，
∵x −1≠0¿
否则原不等式不成立
¿
，
∴y
为一次函数，要使 y在
0≤ p ≤ 4
内恒大于 0，
即
x2−4x+3>0
且
x − 1>0
，
因式分解得：
(x − 1)(x −3)>0
且
(x+1)(x −1)>0
，
3
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