《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题03 相似三角形中的最值问题专练（一）（解析版）

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专题 03 相似三角形中的最值问题专练（一）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 一个四边形的各边之比为 1：2：3：4，和它相似的另一个四边形的最小边长为
5cm，则它的最大边长为
()
A. 10cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm
【答案】C
【分析】根据相似四边形的性质列式计算即可．
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边比的比相等是解题的关键．
【解答】解：设它的最大边长为 xcm，
∵
两个四边形相似，
∴1
5=4
x
，
解得，
x=20
，
2. 在如图所示的
5×5
方格中，每个小正方形的边长均为
1，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三
角形叫格点三角形．在如图所示的方格中，作格点三角
形和
△ABC
相似，则所作的格点三角形的最小面积和
最大面积分别为
()
A.
，
2.5
B.
0.5
，5C. 1，
2.5
D. 1，5
【答案】B
【分析】
本题主要考查的是相似三角形的性质，勾股定理的有关知识，作出面积最小和面积最
大的格点三角形，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以此题只要求得两
三角形的一组对应边的比即可．根据格点三角形边长的求解方法，易得 AB，DE 与GH
的长．即可得出问题的解．
1
【解答】
解：如图所示，
△≝¿
和
△GHI
分别是面积最小和面积最大的三角形．
因为
△≝¿
，
△GHI
和
△ABC
都相似，
AB=
√
2
，
DE=1
，
GH =
√
10
，
所以它们的相似比为 DE：
AB=1
：
√
2
，GH：
AB=
√
10
：
√
2
，
又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，而
△ABC
的面积为
1
2×2×1=1
，
∴△≝¿
的面积为
1
2×1=0.5
，
△GHI
的面积为
(
√
10
√
2
)
2
×1=5
，
3. 如图，在
Rt △ABC
中，
∠C=90 °
，
AC=4
，
BC=3
，点 O是AB 的三等分点，半圆 O与AC 相
切，M，N分别是 BC 与半圆弧上的动点，则 MN
的最小值和最大值之和是
()
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【分析】
设
⊙O
与AC 相切于点 D，连接 OD，作
OP⊥BC
垂足
为P交
⊙O
于F，此时垂线段 OP 最短，MN 最小值为
OP − OF=5
3
，当 N在AB 边上时，M与B重合时，
MN 最大值
¿10
3+1=13
3
，由此不难解决问题．
本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点 MN 取得
2
最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．
【解答】
解：如图，设
⊙O
与AC 相切于点 D，连接 OD，作
OP⊥BC
垂足为 P交
⊙O
于F，
此时垂线段 OP 最短，PF 最小值为
OP − OF
，
∵AC=4
，
BC=3
，
∴AB=5
∵∠ OPB=90 °
，
∴OP/¿AC
∵
点O是AB 的三等分点，
∴OB =2
3×5=10
3
，
OP
AC =OB
AB =2
3
，
∴OP=8
3
，
∵⊙ O
与AC 相切于点 D，
∴OD ⊥AC
，
∴OD /¿BC
，
∴OD
BC =OQ
AB =1
3
，
∴OD=1
，
∴MN
最小值为
OP − OF=8
3−1=5
3
，
如图，当 N在AB 边上时，M与B重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN 最大值
¿10
3+1=13
3
，
∴MN
长的最大值与最小值的和是 6．
3
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