《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题02 相似三角形中的取值范围问题专练（二）（解析版）

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专题 02 相似三角形中的取值范围问题专练（二）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中
, A
(
−3,0
)
, B
(
3,0
)
，若在直线
y=− x+m
上存在点
P满足
∠APB=60 ❑∘
，则 m的取值范围是
¿

¿
A.
❑
√
6−5❑
√
3≤m≤❑
√
6+5❑
√
3
B.
−❑
√
6−5❑
√
3≤m≤❑
√
6+5❑
√
3
C.
D.
−❑
√
3−2❑
√
6≤ m≤❑
√
3+2❑
√
6
【答案】D
【分析】
本题考查了一次函数图象上点坐标的特征，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，
求得直线与外接圆相切时的 m的值是解题的关键．
作等边三角形 ABE，然后作外接圆，求得直线
y=− x+m
与外接圆相切时的 m的值，
即可求得 m的取值范围．
【解答】
解：如图，作等边三角形 ABE，
1
∵A(−3,0)
，
B(3,0)
，
∴OA=OB=3
，
∴E
在y轴上，
当E在AB 上方时，作等边三角形 ABE 的外接圆
⊙Q1
，设直线
y=− x+m
与
⊙Q1
相切，
切点为
P1
，当 P与
P1
重合时 m的值最大，
当P与
P1
重合时，连接
Q1P1
，则
Q1P1⊥
直线
y=− x+m
，
∵OA=3
，
∴OE =3
√
3
，
设
⊙Q1
的半径为 x，在
Rt △AO Q1
中，有
x2=32+¿
，
解得
x=2
√
3
，
∴E Q1=A Q1=P1Q1=2
√
3
，
∴O Q1=
√
3
，
由直线
y=− x+m
可知
OD=OC=m
，
∴D Q1=m−
√
3
，
CD=
√
2m
，
∵∠ ODC=∠P1D Q1
，
∠COD=∠Q1P1D
，
∴△Q1P1D
∽
△COD
，
∴P1Q1
OC =Q1D
CD
，即
2
√
3
m=m−
√
3
√
2m
，
解得
m=
√
3+2
√
6
，
当E在AB 下方时，作等边三角形 ABE 的外接圆
⊙Q2
，设直线
y=− x+m
与
⊙Q2
相切，
切点为
P2
，当 P与
P2
重合时 m的值最小，
当P与
P2
重合时，同理证得
m=−
√
3−2
√
6
，
∴m
的取值范围是
−
√
3−2
√
6≤ m≤
√
3+2
√
6
，
2
2. 如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为
(1
2,1)
，
(3,1)
，
(3,0)
，
点A为线段 MN 上的一个动点，连接 AC，过点 A作
AB⊥AC
交y轴于点 B，当点
A从M运动到 N时，点 B随之运动．设点 B的坐标为
(0, b)
，则 b的取值范围是
()
A.
−1
4≤ b ≤ 1
B.
−5
4≤ b ≤ 1
C.
−9
4≤ b ≤ 1
2
D.
−9
4≤ b ≤ 1
【答案】B
【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出 y与x之间的函数解析
式是解题的关键．延长 NM 交y轴于 P点，则
MN ⊥y
轴．连接
CN .
证明
△PAB
∽
△NCA
，得出
PB
NA =PA
NC
，设
PA=x
，则
NA=PN − PA=3− x
，设
PB=y
，代入整
理得到
y=3x − x2=−¿
，根据二次函数的性质以及
1
2≤ x ≤3
，求出 y的最大与最小值，
进而求出 b的取值范围．
【解答】
解：如图，延长 NM 交y轴于 P点，则
MN ⊥y
轴，连接 CN．
∠APB=∠CNA=90 °
，
3
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