《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题02 二次函数中的动点问题专练（二）（解析版）

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专题 02 二次函数中的动点问题专练（二）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 已知抛物线
y=−3
16 (x −1)(x − 9)
与x轴交于 A，B两点，对称轴与抛物线交于点
C，与 x轴交于点 D，
⊙C
的半径为 2，G为
⊙C
上一动点，P为AG 的中点，则
DP 的最大值为
()
A.
7
2
B.
√
41
2
C.
√
34
2
D.
【答案】A
【分析】P为AG 中点，D为AB 中点，所以 PD 是三角形 ABG 的中位线，则
DP=1/2BG
，当 BG 最大时，则 DP 最大．
由圆的性质可知，当 G、C、B三点共线时，BG 最大．
本题主要考查了抛物线的交点式和顶点式、三角形的中位线定理、中点坐标公式、两
点间的距离公式、等知识点，有一定难度，学会用转化的思想思考问题．
【解答】解：P为AG 中点，D为AB 中点，所以 PD 是三角形 ABG 的中位线，则
DP=1/2BG
，当 BG 最大时，则 DP 最大．
由圆的性质可知，当 G、C、B三点共线时，BG 最大．
∵C(5,3)
，
B(9,0)
，
∴BC=
√
32+42=5
，
∴BG
的最大值为
2+5=7
，
∴DP
的最大值为
7
2
．
1
2. 如图，抛物线
y=−2
3x2+10
3x+4
分别交 x轴于
A，B两点，与 y轴交于点 C，动点 P从
D(0,2)
出发，
先到达 x轴上的某点 E，再到达抛物线对称轴上的某
点F，最后运动到点 C，求点 P运动的最短路径长为
()
A.
√
61
B. 8C. 7D. 9
【答案】A
【分析】根据两点之间线段最短和轴对称的性质来求解．
可做 C点关于直线
x=5
2
的对称点
C '
，做 D点关于 x轴的
对称点
D '
，连接
C ' D ' .
那么 E、F就是直线
C ' D '
与x轴
和抛物线对称轴的交点，求出长度即可．
此题主要考查了轨迹，二次函数的性质，抛物线与 x轴的
交点，以及利用对称求最小值问题等知识，得出
C '
、
D '
点的坐标是解题关键．
【解答】解：作 C点关于直线
x=5
2
的对称点
C '
，做 D点
关于 x轴的对称点
D '
，连接
C ' D '
．
则E、F就是直线
C ' D '
与x轴和抛物线对称轴的交点，
此时
C ' D '
即为点 P运动的最短路径长，
则有
C ' (5,4)
，
D '(0,− 2)
；
故点 P运动的最短路径长
¿C ' D '=
√
C ' C2+D ' C2=
√
61
．
3. 如图，抛物线
y=1
4x2−4
与x轴交于 A，B两点，P是以点
C(0,3)
为圆心，2为半
径的圆上的动点，Q是线段 PA 的中点，连结
OQ .
则线段 OQ 的最大值是
()
2
A. 3B.
√
41
2
C.
7
2
D. 4
【答案】C
【分析】连接 BP，如图，先解方程
1
4x2−4=0
得
A(−4,0)
，
B(4,0)
，再判断 OQ 为
△ABP
的中位线得到
OQ=1
2BP
，利用点与圆的位置关系，BP 过圆心 C时，PB 最大，
如图，点 P运动到
P '
位置时，BP 最大，然后计算出
BP'
即可得到线段 OQ 的最大值．
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反
过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形
中位线．
【解答】解：连接 BP，如图，
当
y=0
时，
1
4x2−4=0
，解得
x1=4
，
x2=−4
，则
A(−4,0)
，
B(4,0)
，
∵Q
是线段 PA 的中点，
∴OQ
为
△ABP
的中位线，
∴OQ=1
2BP
，
当BP 最大时，OQ 最大，
而BP 过圆心 C时，PB 最大，如图，点 P运动到
P '
位置时，BP 最大，
∵BC=
√
32+42=5
，
∴BP '=5+2=7
，
∴
线段 OQ 的最大值是
7
2
．
3
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