《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题01相似三角形中的取值范围问题专练（一）（解析版）

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专题 01 相似三角形中的取值范围问题专练（一）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 如图，将一根
24 cm
长的筷子，置于底面直径为
15 cm
，高为
8cm
的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为
k cm
，
则k的取值范围是
()
A.
ℎ≤17
B.
ℎ≥8
C.
D.
7≤ℎ≤16
【答案】D
2. 如图，点 A在抛物线
y=5
16 x2−2x
上，且横坐标为 8，作直线 OA，设直线 OA 与
y轴正半轴的夹角为
α
，在抛物线上找一点 B，使得
∠AOB >α
，则点 B横坐标的
取值范围是
A.
x<0
B.
x<44
5
且
x ≠ 0
C.
x<24
5
且
x ≠ 0
D.
x<4
且
x ≠ 0
【答案】D
【分析】
本题是一道二次函数综合题，主要考查待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性
质，二次函数图像上的点的坐标特征，二次函数与一次函数交点问题以及相似三角形
的判定与性质
.
过点 A作y轴的垂线，交 y轴于点 C，以 OA 为对称轴翻折
△ACO
，点
C的对应点为点 D，过点 D作
DF ⊥AC
于点 F，过点 D作
DE ⊥y
轴于点 E，先证
△EOD
∽
△FAD
，
由相似三角形的性质可知
EO
FA =ED
FD =OD
AD =OC
AC
，求出点 A的坐标为
A(8,4)
，可知
1
AC=8
，
OC=4
，从而可得
EO
FA =1
2
，
ED
FD =8− FA
EO+4=1
2
，可求得
EO=12
5
，
FA=24
5
，
从而可知点 D的坐标为
D(16
5,− 12
5)
，设直线 OD 的解析式为
y=kx(k ≠ 0)
，代入点
D的坐标，可求得解析式为
y=−3
4x
，联立方程组求出点 B的横坐标，即可知结果．
【解答】
解：
过点 A作y轴的垂线，交 y轴于点 C，以 OA 为对称轴翻折
△ACO
，点 C的对应点为
点D，
过点 D作
DF ⊥AC
于点 F，过点 D作
DE ⊥y
轴于点 E，
∴∠ AOD=∠AOC=α
，
∠CAO=∠DAO
，
∠ACO=∠ADO=90 °
，
又
∵∠ CAO=90 ° − α
，
∴∠ FAD=2∠CAO=180° −2α
，
又
∵∠ EOD=180° −∠COA − ∠DOA=180 °− 2α
，
∴∠ EOD=∠FAD
，
∴△EOD
∽
△FAD
，
∴EO
FA =ED
FD =OD
AD =OC
AC
，
2
∵
点A的横坐标为 8，且点 A在抛物线
y=5
16 x2−2x
上，
∴yA=5
16 ×82−2×8=4
，
∴A(8,4)
，
∴AC=8
，
OC=4
，
∴EO
FA =4
8=1
2
，
ED
FD =CF
EO+OC =AC − FA
EO+OC =8− FA
EO+4=OC
AC =1
2
，
解得：
EO=12
5
，
FA=24
5
，
∴D(16
5, − 12
5)
，
设直线 OD 的解析式为
y=kx(k ≠ 0)
，
∴−12
5=16
5k
，
∴k=−3
4
，
∴y=−3
4x
，
∴
{
y=−3
4x
y=5
16 x2−2x
,
解得：
x=0
或
x=4
，
当
x=0
时，点 B与点 O重合，
∴x<4
且
x ≠ 0
．
3. 如图，在
△ABC
中，
∠C=90 °
，
AB=5
，
BC=4.
点D为边 AC 上的动点，作菱形
3
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