《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题01 二次函数中的动点问题专练（一）（解析版）

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专题 01 二次函数中的动点问题专练（一）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 如图，线段 AB 的长为 2，C为AB 上以动点，分别
以AC、BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角
△ACD
和
△BCE
，则 DE 的最小值为
()
．
A. 1B.
0.8
C.
√
2
D.
√
3
【答案】A
【分析】
此题主要考查了等腰直角三角形的特点，勾股定理，及二次函数求最值的方法，利用
等腰直角三角形的性质知道
AD=CD
，
，
∠ACD=∠A=45 °
，
∠ECB=∠B=45 °
，
∠DCE=90° .
利用勾股定理和完全平方公式的变形得出 DE
的表达式，利用函数的知识求出 DE 的最小值．
【解答】
解：设
AC=x
，
BC=2− x
，
在等腰
Rt △ACD
和等腰
Rt △CBE
中，
AD=CD
，
CE=BE
，
∠ACD=∠A=45 °
，
∠ECB=∠B=45 °
∴∠ DCE=90 °
∴A D2+C D2=A C2
，
C E2+B E2=C B2
∴C D2=1
2A C2
，
C E2=1
2C B2
，
∵D E2=DC2+E C2
，
∴D E2=1
2x2+1
2¿
，
∴
当
x=1
时，
D E2
有最小值为 1，
又
∵DE
为正，
∴DE
的最小值为 1．
1
2. 已知，平面直角坐标系中，直线
y1=x+3
与抛物线
y=¿
−1
2x2+2x
的图象如图，点 P是
y2
上的一个动点，则点 P到直线
y1
的最短距离为
¿
¿
A.
3
√
2
2
B.
3
√
3
2
C.
√
2
D.
5
√
2
4
【答案】D
【分析】
本题主要考查了一次函数的图象、二次函数的图象、锐角三角函数的定义的知识点，
解题关键点是熟练掌握这些计算方法
.
先点 P作
PD ⊥AB
于点 D，过点 P作
AB/¿EF
，
设直线 y1
¿x+3
向下平移 a得到直线 EF，从而得出
x+3−a=−1
2x2+2x
，从而求出 a
最大值，最后利用三角函数进行计算，即可解答．
【解答】
解：如图，点 P作
PD ⊥AB
于点 D，过点 P作
AB/¿EF
，
∴y1=x+3
向下平行 a与抛物线
y2=−1
2x2+2x
相交，
∴x+3− a=−1
2x2+2x
，
整理得
a=1
2x2− x +3=1
2
(
x −1
)
2+5
2
，
∴
当
x=1
时，a有最大值，最大值为
5
2
，
令
x=0
，则
y=3
，令
y=0
，则
y=−3
，
∴
点
A(−3,0)
，
B(0,3)
，
∴tan ∠ABO=OA
OB=1
，
∴∠ ABO=45 °
，
2
∴DG=sin 45 °× 5
2=5
√
2
4
．
3. 已知抛物线
y=−3
16
(
x+4
) (
x −4
)
与x轴交于 A，B两点，与 y轴交于 C点，G是
半径为 2的
⊙C
上一动点，P为AG 的中点，则 OP 的最大值为
()
A.
7
2
B.
√
41
2
C.
√
34
2
D.
2
√
3
【答案】A
【分析】
本题考查抛物线的交点式和顶点式、三角形的中位线定理、中点坐标公式、两点间的
距离公式、等知识点，有一定难度，学会用转化的思想思考问题．
P为AG 中点，O为AB 中点，所以 PO 是三角形 ABG 的中位线，则
OP=1
2BG
，当
BG 最大时，则 OP 最大．由圆的性质可知，当 G、C、B三点共线时，BG 最大．
【解答】
解：
∵P
为AG 中点，O为AB 中点，
∴PO
是三角形 ABG 的中位线，
则
OP=1
2BG
，
当BG 最大时，
则OP 最大，
由圆的性质可知，
当G、C、B三点共线时，BG 最大，
∵C(0,3)
，
B(4,0)
，
3
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