《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题01 7.1-7.2正弦、余弦、正切培优训练（解析版）

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专题 01 7.1-7.2 正弦、余弦、正切培优训练
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 在
Rt △ABC
中，
∠C=90 °
， ，
BC=2
√
3
，则 AC 等于
()
A.
4
√
5
B. 4C. 3D. 6
【答案】C
【解析】
本题主要考查解直角三角形，可根据锐角三角函数的定义
tanB=AC
BC =
√
3
2
，结合
BC=2
√
3
可求解 AC 的长．
【解答】
解：在
Rt △ABC
中，
∠C=90 °
，
，
∵tan B=
√
3
2
，
BC=2
√
3
，
∴AC=BCtanB=2
√
3×
√
3
2=3
．
故选 C．
2. 在
Rt △ABC
中，
∠C=90∘
，
AC=1
，
BC=3
，则
∠A
的正切值为
¿
¿
A. 3B.
1
2
C.
√
10
10
D.
3
√
10
10
【答案】A
【解析】
本题考查锐角三角函数的定义，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【解答】
解：
∵
在
Rt △ABC
中，
∠C=90∘
，
AC=1
，
BC=3
，
1
∴∠ A
的正切值为
BC
AC =3
，
故选 A．
3. 在
Rt △ABC
中，
∠C=90 °
，a，b，c分别是
∠A
，
∠B
，
∠C
对边，如果
3a=4b
，则 cosB的值是
()
A.
5
3
B.
3
5
C.
5
4
D.
4
5
【答案】D
【解析】
本题主要考查了锐角三角函数的定义、勾股定理，解题的关键在于求出斜边 c的长度．
首先根据勾股定理求 c的值，然后根据锐角三角函数的定义即可求出结果．
【解答】
解：
∵
在
Rt △ABC
中，
∠C=90 °
，
3a=4b
，
令
a=4
，
b=3
，根据勾股定理，
c=5
，
则
cosB=4
5
，
故选 D．
4. 如图，
⊙O
经过矩形 ABCD 的顶点 A，D，与 BC 相切于
点F，与 CD 相交于另一点 G，P为弧 AD 上一点，连接
DP，GP，若
AB
AD =3
4
，则
sin ∠DPG
的值为
¿
¿
A.
4
5
B.
5
13
C.
5
12
D.
3
13
【答案】B
【解析】
本题主要考查了切线的性质，梯形中位线定理，圆周角定理，矩形的判定及性质，锐
角三角函数的定义，勾股定理，关键是灵活运用这些知识点
.
连接 DE，OF，EG，首先
2
证明 OF 为梯形 EBCD 的中位线，得到
2OF=BE+CD
，再证明四边形 AEGD 为矩形，
得到
AD=EG
，
AE=DG
，设
AE=DG=x
，
AB=3k
，
AD=4k
，表示出
DG，EG，ED，利用勾股定理建立方程，用 k的代数式表示出 DG，根据圆周角定理得
到
∠DEG=∠DPG
，最后根据正弦函数解答即可．
【解答】
解：设 AB 与圆交于点 E，连接 OF，DE，EG．
∵
四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ A=∠B=∠C=90 °
，
∴DE
为圆 O的直径，
∴EO=DO
，
∵BC
为
⊙O
的切线，
∴OF ⊥BC
，
∴OF
为梯形 EBCD 的中位线，
∴2OF =BE+CD
，
∵
四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ A=90 °
，
∠ADC=90°
，
∵DE
为直径，
∴∠ EGD=90 °
，
∴
四边形 AEGD 为矩形，
∴AE=DG
，
EG=BC=AD
，
设
AE=x
，
AB=3k
，
AD=4k
，则
DG=x
，
BE=3k − x
，
则
2OF=3k − x +3k=6k − x
，即
DE=6k − x
，
在
Rt △DEG
中，
D G2+E G2=D E2
，即
x2+¿
，
3
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